Transzendente Körpererweiterun < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Einen guten Morgen alle zusammen,
ich habe eine Verständnisfrage zu transzendenten Körpererweiterungen. Für eine Übungsaufgabe brauche ich eine transzendente Körpererweiterung über einem endlichen Körper [mm]\IF_p[/mm]. Dass [mm]\IR[/mm]eine transzendente Erweiterung von [mm]\IQ[/mm] ist, ist mir klar, aber ich kann es nicht so richtig auf endliche Körper übertragen. In einem Buch ist das ganze sehr schnell erklärt worden und ich bin mir gerade sehr unsicher, ob ich das alles richtig verstehe.
Also ich beginne mit [mm]\IF_p[/mm] und bilde den Polynomring in n Variablen: [mm]\IF_p[x_1,\ldots x_n][/mm]. Dann bildet man den Körper der rationalen Polynome [mm]\IF_p(x_1,\ldots x_n)[/mm] und das ist dann die transzendente Körpererweiterung. Die Elemente
[mm]x_1, \ldots , x_n[/mm] bilden eine Transzendensbasis.
Ist das so richtig? Denn mit der Methode des irreduzoblen Polynomherausteilens, wie ich sie gelernt habe, bekomme ich nur algebraische Erweiterungen, oder? So als Zusatz, der sich dann noch anschließt: Welche Elemente sind dann algebraisch unabhängig? [mm] $x_1,x_2,x_1x_2$ [/mm] oder [mm] $x_1,x_2,x_1+x_2$
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Vielen Dank schonmal im Voraus!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 So 19.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen,
> ich habe eine Verständnisfrage zu transzendenten
> Körpererweiterungen. Für eine Übungsaufgabe brauche ich
> eine transzendente Körpererweiterung über einem endlichen
> Körper [mm]\IF_p[/mm]. Dass [mm]\IR[/mm]eine transzendente Erweiterung von
> [mm]\IQ[/mm] ist, ist mir klar, aber ich kann es nicht so richtig
> auf endliche Körper übertragen. In einem Buch ist das
> ganze sehr schnell erklärt worden und ich bin mir gerade
> sehr unsicher, ob ich das alles richtig verstehe.
>
> Also ich beginne mit [mm]\IF_p[/mm] und bilde den Polynomring in n
> Variablen: [mm]\IF_p[x_1,\ldots x_n][/mm]. Dann bildet man den
> Körper der rationalen Polynome [mm]\IF_p(x_1,\ldots x_n)[/mm] und
> das ist dann die transzendente Körpererweiterung. Die
> Elemente [mm]x_1, \ldots , x_n[/mm] bilden eine Transzendensbasis.
Genau, denn [mm] $x_1, \ldots, x_n$ [/mm] sind eine maximale algebraisch unahängige Menge von [mm] $\IF_p(x_1,\ldots,x_n)$ [/mm] über [mm] $\IF_p$. [/mm] Die erweiterung ist sogar rein transzendent, da jedes Element des Erweiterungskörpers, das nicht im Grundkörper liegt, schon transzendent über dem Grundkörper ist. Bei dieser Konstruktion einer transzendenten Erweiterung ist es auch nicht von Bedeutung, dass dein Körper endlich ist.
> Ist das so richtig? Denn mit der Methode des irreduzoblen
> Polynomherausteilens, wie ich sie gelernt habe, bekomme ich
> nur algebraische Erweiterungen, oder?
Das stimmt nicht so ganz, ist aber richtig, wenn du nur den Polynomring in einer Variablen betrachtest. Durch das Herausteilen führst du ja eine algebraische Relation der vorher algebraisch unabhängigen Variablen ein. Zum Beispiel ist im Quotienten [mm] $\IQ[X]/(X^2+1)$ [/mm] dann eben [mm] $X^2+1=0$, [/mm] d.h. X erfüllt nun eine algebraische Relation. Wenn du nun aber [mm] $\IQ[X,Y]/(X^2+1)$ [/mm] betrachtest, so erfüllt Y weiterhin keine algebraische Relation und [mm] $\IQ[X,Y]/(X^2+1)$ [/mm] ist nicht mal ein Körper.
> So als Zusatz, der
> sich dann noch anschließt: Welche Elemente sind dann
> algebraisch unabhängig? [mm]x_1,x_2,x_1x_2[/mm] oder
> [mm]x_1,x_2,x_1+x_2[/mm]
Meines Erachtens sind beide Teilmengen algebraisch abhängig, denn sie erfüllen die algebraischen Relationen:
[mm] $x_1\cdot x_2 -x_1x_2 [/mm] =0$ und
[mm] $(x_1+x_2)-x_1-x_2=0$
[/mm]
Sie müssen auch algebraisch abhängig sein, sonst wären sie eine Transzendenzbasis der Erweiterung [mm] $\IF_p(x_1,x_2)/\IF_p$. [/mm] Das kann nicht sein, denn alle Basen haben die gleiche Länge und [mm] $x_1,x_2$ [/mm] ist ja schon eine Basis mit 2 Elementen. Es kann also keine mit 3 Elementen geben.
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 So 19.06.2011 | | Autor: | Oberspacko |
Mir ist jetzt alles klar. Hab vielen Dank.
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