Transzendenz über IQ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Do 17.01.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | Seien [mm] $\alpha, \beta \in \IC$ [/mm] transzendent über [mm] $\IQ$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] und/oder [mm] $\alpha \beta$ [/mm] transzendent über [mm] $\IQ$ [/mm] sind. |
Hallo,
ein Beispiel geben [mm] $\pi [/mm] , e [mm] \in \IC$. [/mm] Die sind beide transzendent über [mm] $\IQ$ [/mm] und es gilt [mm] $(\pi+e)\vee(\pi [/mm] e)$ sind transzendent über [mm] $\IQ$.
[/mm]
Meistens macht man sowas doch mit Widerspruch, oder?
Also angenommen [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] algebraisch, dann existiert ein Polynom [mm] $f(x)=(x-(\alpha [/mm] + [mm] \beta))g(x) \in \IQ[x]$...
[/mm]
Kann jemand weiterhelfen??
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 17.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Ole
> Seien [mm]\alpha, \beta \in \IC[/mm] transzendent über [mm]\IQ[/mm]. Zeige,
> dass [mm]\alpha + \beta[/mm] und/oder [mm]\alpha \beta[/mm] transzendent über
> [mm]\IQ[/mm] sind.
Genau diese Frage hat schonmal jemand vor knapp vier Tagen gestellt (naemlich bobby).
> Meistens macht man sowas doch mit Widerspruch, oder?
Ja. Man nimmt an, dass sowohl [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] und [mm] $\alpha \cdot \beta$ [/mm] algebraisch sind, und konstruiert dann ein Polynom mit algebraischen Koeffizienten, welches [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] als Nullstellen hat.
Versuch doch mal ein Polynom hinzuschreiben, welches beide als Nullstellen hat. Wie sieht das Polynom aus?
LG Felix
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