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| Aufgabe | Berechnen das bestimmte Integral
[mm] \integral_{1}^{2}{f(x) dx} [/mm] mit [mm] f(x)=\wurzel{1+x^{-3}} [/mm] näherungsweise mit der Trapez-Regel bei n=8.
b) Gib eine Schranke für den Fehler zum exakten Wert an, wenn bekannt ist, dass die 2.Ableitung von f(x) auf [1,2] monton fallend ist.
c)Für welches n ist der Fehler garantiert kleiner als [mm] 10^{-4} [/mm] |
Hallo,
also näherungsweise bekomme ich für n=8: 1,169998.
aber was weiss ich denn wenn die 2.Abl. monoton fallend ist (aus b) und wie komm ich bei c) auf das n?
Danke Tim
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Ich würde sagen, daß eine monoton fallende 2. Ableitung bedeutet, daß die erste Ableitung ebenfalls monoton steigt oder fällt (dazwischen läge dann ne Nullstelle in f''), und das wiederum bedeutet, daß die Funktion selbst entweder nur linksgekrümmt oder nur rechtsgekrümmt wäre.
Deine Funktion ist übrigens in [1;2] nur linksgekrümmt, deshalb lasse ich das andere außer Acht
Ist sie nur linksgekrümmt, liefert das numerische Verfahren stets (für JEDES Trapez) einen zu großen Wert.
Ebenfalls bedeutet dies, daß du keine "Zacken" in den einzelnen Teilintervallen hast, sprich, daß deine diskreten Funktionswerte stets auch die größten / kleinsten in den Teilintervallen sind.
Jetzt habe ich hier noch ein Numerik-Buch rumfliegen. Dieses besagt für den Fehler bei Intervalllänge h:
$|I| [mm] \le\bruch{h^2}{12}(b-a) \max_{a \le x \le b }(|f''(x)|)$
[/mm]
Die Herleitung gibts leider nicht, dafür wird auf eine Referenz verwiesen.
Nun, wenn f'' monoton fällt (aber positiv ist), ist [mm] $\max_{a \le x \le b }(|f''(x)|)=f''(a)=f''(1)$
[/mm]
Nun sollte es kein Problem mehr sein, den Fehler unter einen gewissen Wert zu drücken, oder?
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Ja dankeschön, diese Zusammenhänge und die Formel waren mir völlig unbekannt im TW von W.Göhler steht es auch nicht wirklich drin...
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