Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 26.11.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems mittels des Verfahrens Trennung der Variablen:
[mm] \frac{y'(x)}{x^{3}} [/mm] = 4 * (y(x) + 2) |
Guten Abend,
Nun soll ich die gegebene DGL mittels Trennung der Variablen lösen.
Nun gut, 1. Schritt ist ja die Trennung idenfitifieren und stationäre Lösungen suchen:
y'(x) = 4 * (y(x) + 2) * [mm] x^{3}
[/mm]
Somit kann ich doch f(x) = [mm] x^{3} [/mm] und g(y) = 4(y(x) + 2) wählen oder?
Und ist dann die stationäre Lösung y = -2 für alle [mm] x\in\IR, [/mm] da g(-2) = 4*(-2+2) = 0 ?
2. Schritt ist Separieren und integrieren:
[mm] \frac{y'(x)}{x^{3}} [/mm] = 4 * (y(x) + 2) <=> [mm] \frac{y'(x)}{(y(x) + 2)} [/mm] = 4 * [mm] x^{3}
[/mm]
Auf beiden Seiten Integrieren ergibt:
[mm] \integral_{}^{} \frac{y'(x)}{(y(x) + 2)} [/mm] dx = [mm] \integral_{}^{} [/mm] 4 * [mm] x^{3} [/mm] dx
Mit der Substitution z = y(x) + 2 und [mm] \frac{dz}{dx} [/mm] = y'(x) <=> y'(x) * dx = dz folgt:
[mm] \integral_{}^{} \frac{1}{z} [/mm] * dz = [mm] \integral_{}^{} [/mm] 4 * [mm] x^{3} [/mm] dx
<=> ln(|z|) = [mm] x^{4} [/mm] + C mit C [mm] \in \IR
[/mm]
3. Rücksubstitution: |y(x) + 2| = [mm] e^{x^{4} + C}
[/mm]
Ist nun [mm] y_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{x^{4} + C} [/mm] - 2 und [mm] y_{2}(x) [/mm] = - [mm] e^{x^{4} + C} [/mm] - 2 ?
Würde mich über eure Antworten freuen!
Viele Grüße,
X³nion
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:33 Fr 27.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems
> mittels des Verfahrens Trennung der Variablen:
> [mm]\frac{y'(x)}{x^{3}}[/mm] = 4 * (y(x) + 2)
> Guten Abend,
> Nun soll ich die gegebene DGL mittels Trennung der
> Variablen lösen.
>
> Nun gut, 1. Schritt ist ja die Trennung idenfitifieren und
> stationäre Lösungen suchen:
> y'(x) = 4 * (y(x) + 2) * [mm]x^{3}[/mm]
> Somit kann ich doch f(x) = [mm]x^{3}[/mm] und g(y) = 4(y(x) + 2)
> wählen oder?
> Und ist dann die stationäre Lösung y = -2 für alle
> [mm]x\in\IR,[/mm] da g(-2) = 4*(-2+2) = 0 ?
>
> 2. Schritt ist Separieren und integrieren:
>
> [mm]\frac{y'(x)}{x^{3}}[/mm] = 4 * (y(x) + 2) <=> [mm]\frac{y'(x)}{(y(x) + 2)}[/mm]
> = 4 * [mm]x^{3}[/mm]
> Auf beiden Seiten Integrieren ergibt:
> [mm]\integral_{}^{} \frac{y'(x)}{(y(x) + 2)}[/mm] dx =
> [mm]\integral_{}^{}[/mm] 4 * [mm]x^{3}[/mm] dx
> Mit der Substitution z = y(x) + 2 und [mm]\frac{dz}{dx}[/mm] =
> y'(x) <=> y'(x) * dx = dz folgt:
> [mm]\integral_{}^{} \frac{1}{z}[/mm] * dz = [mm]\integral_{}^{}[/mm] 4 *
> [mm]x^{3}[/mm] dx
> <=> ln(|z|) = [mm]x^{4}[/mm] + C mit C [mm]\in \IR[/mm]
>
> 3. Rücksubstitution: |y(x) + 2| = [mm]e^{x^{4} + C}[/mm]
> Ist nun
> [mm]y_{1}(x)[/mm] = [mm]e^{x^{4} + C}[/mm] - 2 und [mm]y_{2}(x)[/mm] = - [mm]e^{x^{4} + C}[/mm]
> - 2 ?
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Alles richtig
FRED
>
> Würde mich über eure Antworten freuen!
>
> Viele Grüße,
> X³nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Mo 30.11.2015 | | Autor: | X3nion |
Alles klar, danke für's Drüberschauen Fred!
Gruß X³nion
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