Trennung der Variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 14.11.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Trennung der Variablen
Man löse die trennbare Differentialgleichung y'(x) = 10^(x+y).
Gesucht ist eine explizite Darstellung y(x). |
Hi,
ich versteh das mit der trennung noch nicht so ganz...
erst [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] 10^x [/mm] * [mm] 10^y [/mm] stimmt das soweit?
dann nach [mm] \bruch{dy}{10^y} [/mm] = [mm] 10^x [/mm] * dx auflösen
und intergrieren...
und dann bekomme ich : 10^(-y) * [mm] \bruch{1}{ln10} [/mm] = [mm] 10^x [/mm] * [mm] \bruch{1}{ln10}
[/mm]
und dann? 10^(-y) = [mm] 10^x [/mm] irgendwie lösen
bin ich da auf dem richtigen weg?
danke für jede antwort!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Trennung der Variablen
> Man löse die trennbare Differentialgleichung y'(x) =
> 10^(x+y).
> Gesucht ist eine explizite Darstellung y(x).
>
> ich versteh das mit der trennung noch nicht so ganz...
>
> erst [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]10^x[/mm] * [mm]10^y[/mm] stimmt das soweit?
Ja.
> dann nach [mm]\bruch{dy}{10^y}[/mm] = [mm]10^x[/mm] * dx auflösen
> und intergrieren...
Ja.
> und dann bekomme ich : 10^(-y) * [mm]\bruch{1}{ln10}[/mm] = [mm]10^x[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{ln10}[/mm]
Ich komme auf [mm] $-10^{-y} \frac{1}{\ln 10}$ [/mm] auf der linken Seite. (Die rechte Seite stimmt ueberein.)
> und dann? 10^(-y) = [mm]10^x[/mm] irgendwie lösen
> bin ich da auf dem richtigen weg?
Nun, wenn es wirklic [mm] 10^{-y} [/mm] = [mm] 10^x$ [/mm] waer, wuerde ich auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus nehmen: dann hast du da $-y = x$ stehen, also $y = -x$. Aber das kann schon nicht stimmen, da dann [mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] = -1$ waer und nicht [mm] $10^{x + y} [/mm] = [mm] 10^0 [/mm] = 1$.
Aber du hast ja auch [mm] $-10^{-y} [/mm] = [mm] 10^x$ [/mm] raus, also (umformen) $-1 = [mm] 10^{x + y}$.
[/mm]
Hier hast du nun das Problem, dass [mm] $10^{x + y}$ [/mm] fuer reellwertige $x$ und $y$ niemals $-1$ ergeben kann.
Stimmt die Aufgabenstellung denn so wie sie da steht?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Sa 14.11.2009 | | Autor: | cracker |
die aufgabenstellung stimmt wortwörtlich...
hm, was meinst du wie das dann geht?
danke für die schnelle antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Sa 14.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Es gibt da noch einen Punkt der felt: naemlich die Integrationskonstante.
Du hast also [mm] $10^{-y} [/mm] = [mm] -10^x [/mm] + c$ fuer eine Konstante $c [mm] \in \IR$. [/mm] Wenn du jetzt den 10er-Logarithmus nimmst, bekommst du $-y = [mm] \log_{10}(c [/mm] - [mm] 10^x)$. [/mm] Und solange $c - [mm] 10^x [/mm] > 0$ ist, also $x < [mm] \log_{10} [/mm] c$, ist dies schon definiert.
Du bekommst also zwar eine Loesung, die aber nur auf einem Intervall der Form [mm] $(-\infty, [/mm] t)$ definiert ist.
LG Felix
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