www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Trennung der Variablen in DGL
Trennung der Variablen in DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Trennung der Variablen in DGL: Denkanstoß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Aufgabe
Lösen sie folgende Differentialgleichung: y'+ [mm] \frac{2y}{x}=\frac{e^{-x^2}}{x} [/mm]

Mein Ansatz bisher:
[mm] \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}*(e^{-x^2}-2y) [/mm]

Aber ansonsten keine Ahnung wie ich die Variablen trennen soll =(
Muss ich das x irgendwie noch aus dem Exponenten holen?

Wäre dankbar für einen kleinen Denkanstoß...
Gruß Schulz



und weils mein erster ist:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,


[willkommenmr]


> Lösen sie folgende Differentialgleichung: y'+
> [mm]\frac{2y}{x}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  Mein Ansatz bisher:
>  [mm]\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}*(e^{-x^2}-2y)[/mm]
>  
> Aber ansonsten keine Ahnung wie ich die Variablen trennen
> soll =(
>  Muss ich das x irgendwie noch aus dem Exponenten holen?
>


Die homogene DGL

[mm]y'+\frac{2y}{x}=0[/mm]

ist durch Trennung der Variablen zu lösen.


> Wäre dankbar für einen kleinen Denkanstoß...
>  Gruß Schulz
>  
>
>
> und weils mein erster ist:
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:20 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Danke erstmal für deine Hilfe :)
Aber anscheinende brauche ich doch ein bisschen mehr als einen Denkanstoß O.o

Nach Trennung der Variablen in der homogenen DGL habe ich:

[mm] \frac{1}{2y}*dy=\frac{1}{-x}*dx [/mm]

Aber was muss ich jetzt mit dem Rest machen ?
Gruß Schulz

edit: Hab das "-" jetzt eingefügt

Bezug
                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,

> Danke erstmal für deine Hilfe :)
>  Aber anscheinende brauche ich doch ein bisschen mehr als
> einen Denkanstoß O.o
>  
> Nach Trennung der Variablen in der homogenen DGL habe ich:
>  
> [mm]\frac{1}{2y}*dy=\frac{1}{x}*dx[/mm]
>  


Da ist doch ein "-" verlorengegangen:

[mm]\frac{1}{2y}*dy=\blue{-}\frac{1}{x}*dx[/mm]


> Aber was muss ich jetzt mit dem Rest machen ?

Integriere jetzt auf beiden Seiten.


>  Gruß Schulz


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

[mm] \integral_{}^{} \frac{1}{2y}\, [/mm] dy = [mm] \integral_{}^{} \frac{1}{-x}\, [/mm] dx
[mm] \frac{1}{2}*\integral_{}^{} \frac{1}{y}\, dy=-\integral_{}^{} \frac{1}{x}\, [/mm] dx

[mm] \frac{1}{2}*\ln [/mm] (y) = [mm] -\ln [/mm] (x) +c'
  [mm] \ln [/mm] (y) [mm] =-2*\ln [/mm] (x) +c'

y=  [mm] x^{-2}+c [/mm]

Ich hoffe das ist sowei richtig. Bin mir aber immer noch nicht sicher was jetzt folgt bzw. was mit den [mm] \frac{e^{-x^2}}{x} [/mm] vom Anfang passiert.

Gruß Schulz

Bezug
                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 10.12.2011
Autor: notinX

Hallo,

> [mm]\integral_{}^{} \frac{1}{2y}\,[/mm] dy = [mm]\integral_{}^{} \frac{1}{-x}\,[/mm]
> dx
> [mm]\frac{1}{2}*\integral_{}^{} \frac{1}{y}\, dy=-\integral_{}^{} \frac{1}{x}\,[/mm]
> dx
>
> [mm]\frac{1}{2}*\ln[/mm] (y) = [mm]-\ln[/mm] (x) +c'

ab hier ist es falsch.
[mm] $\frac{1}{2}\ln y=-\ln [/mm] x+c'$
[mm] $\Rightarrow \ln y=-2\ln [/mm] x+2c'$
jetzt alles in den Exponent der exp-Fkt. schreiben:
[mm] $\Rightarrow e^{\ln y}=e^{-2\ln x+2c'}$ [/mm]
[mm] $y_h=e^{-2\ln x}\cdot \underbrace{e^{2c'}}_{c:=}=x^{-2}\cdot c=\frac{c}{x^2}$ [/mm]

>    [mm]\ln[/mm] (y) [mm]=-2*\ln[/mm] (x) +c'
>  
> y=  [mm]x^{-2}+c[/mm]
>  
> Ich hoffe das ist sowei richtig. Bin mir aber immer noch
> nicht sicher was jetzt folgt bzw. was mit den
> [mm]\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm] vom Anfang passiert.
>  
> Gruß Schulz

Jetzt kommt das Verfahren Variation der Konstanten zum Einsatz (VdK). Betrachte dazu $c=c(x)$ nicht mehr als Konstante sondern als Funktion von x und setze [mm] $y_h(x)$ [/mm] (die homogene Lösung) in die inhomogene DGL ein und bestimme dann $c(x)$.

Gruß,

notinX

Bezug
                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Hab mich mal rangesetzt, über VdK schlau gemacht und probiert...

[mm] y=\frac{c(x)}{x^2} [/mm]

[mm] y'=\frac{c'(x)*x^2-c(x)*2x}{x^4} [/mm]

Einsetzen in die Gleichung:

[mm] \frac{x^2c'(x)-2xc(x)}{x^4}+\frac{2c(x)}{x^2}=\frac{e^{-x^2}}{x} [/mm]

Hatte jetzt gedacht mit erweitern von [mm] x^2 [/mm] komm ich weiter,

[mm] \frac{x^2c'(x)-2xc(x)+2x^2c(x)}{x^4}=\frac{e^{-x^2}}{x} [/mm]


aber ich habe immer noch Funktion und Ableitung von c(x), kann also nicht ausklammer...steh ein bisschen auf dem Schlauch =(

Bezug
                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,

> Hab mich mal rangesetzt, über VdK schlau gemacht und
> probiert...
>  
> [mm]y=\frac{c(x)}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]y'=\frac{c'(x)*x^2-c(x)*2x}{x^4}[/mm]
>  
> Einsetzen in die Gleichung:
>  
> [mm]\frac{x^2c'(x)-2xc(x)}{x^4}+\frac{2c(x)}{x^2}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  
> Hatte jetzt gedacht mit erweitern von [mm]x^2[/mm] komm ich weiter,
>  
> [mm]\frac{x^2c'(x)-2xc(x)+2x^2c(x)}{x^4}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  
>
> aber ich habe immer noch Funktion und Ableitung von c(x),
> kann also nicht ausklammer...steh ein bisschen auf dem
> Schlauch =(


Die Terme mit der Funktion heben sich heraus,
so dass nur der Term  mit der Ableitung stehen bleibt:


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Sind meine Überlegungen oben bis dahin richtig?
Wie genau heben die sich auf O.o?
Bin wohl ein bisschen blind heute.

[mm] \frac{x^2c'(x)-2xc(x)+2x^2c(x)}{x^4}=\frac{e^{-x^2}}{x} [/mm]

Muss man mit Funktionen anders rechnen?

[mm] -2x*c(x)+2x^2*c(x) [/mm]
Da ist doch ein "normales" x und ein [mm] x^2 [/mm] kann ich die trotzdem addieren?

Bezug
                                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Sa 10.12.2011
Autor: notinX


> Wie genau heben die sich auf O.o?
>  Bin wohl ein bisschen blind heute....
>  
> [mm]\frac{x^2c'(x)-2xc(x)+2x^2c(x)}{x^4}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  
> Muss man mit Funktionen anders rechnen?

nein nein, wie gewohnt.

>  
> [mm]-2x*c(x)+2x^2*c(x)[/mm]
>  Da ist doch ein "normales" x und ein [mm]x^2[/mm] kann ich die
> trotzdem addieren?

Nein, siehe Beitrag von 19:20 Uhr ;-)

Bezug
                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 Sa 10.12.2011
Autor: notinX


> Hab mich mal rangesetzt, über VdK schlau gemacht und
> probiert...

sehr löblich!

>  
> [mm]y=\frac{c(x)}{x^2}[/mm]
>  
> [mm]y'=\frac{c'(x)*x^2-c(x)*2x}{x^4}[/mm]
>  
> Einsetzen in die Gleichung:
>  
> [mm]\frac{x^2c'(x)-2xc(x)}{x^4}+\frac{2c(x)}{x^2}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]

so stimmts:
[mm] $\frac{x^{2}c'(x)-2xc(x)}{x^{4}}+\frac{2c(x)}{x^{{\color{red}3}}}=\frac{e^{-x^{2}}}{x}$ [/mm]

>  
> Hatte jetzt gedacht mit erweitern von [mm]x^2[/mm] komm ich weiter,
>  
> [mm]\frac{x^2c'(x)-2xc(x)+2x^2c(x)}{x^4}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  
>
> aber ich habe immer noch Funktion und Ableitung von c(x),
> kann also nicht ausklammer...steh ein bisschen auf dem
> Schlauch =(


Bezug
                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

OK nach einigem hin und her und einer Substitution weniger bin ich jetzt bei:

c(x)= [mm] -\frac{1}{2}*e^{-x^2} [/mm]

Ist das soweit richtig?..Mittlerweile weiß ich gar nicht mehr wo ich hin will...Reicht das? Oder muss ich das jetzt wieder für c(x) oben einsetzen?

Bezug
                                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:09 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,

> OK nach einigem hin und her und einer Substitution weniger
> bin ich jetzt bei:
>  
> c(x)= [mm]-\frac{1}{2}*e^{-x^2}[/mm]

>


Stimmt. [ok]

  

> Ist das soweit richtig?..Mittlerweile weiß ich gar nicht
> mehr wo ich hin will...Reicht das? Oder muss ich das jetzt
> wieder für c(x) oben einsetzen?


Jetzt setzt Du dieses c(x) in den Ansatz ein.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

wenn ich das bei y einsetze erhalte ich doch

[mm] y=-\frac{1}{2}*\frac{e^{-x^2}}{x^2} [/mm]

Das dann in den Ansatz eingesetzt:

[mm] y'-\frac{e^{-x^2}}{x^3}=\frac{e^{-x^2}}{x} [/mm]

[mm] y'=\frac{x^2*e^{-x^2}+e^{-x^2}}{x^3} [/mm]

Muss ich jetzt wieder nach y auflösen? Also:

dy = [mm] \frac{x^2*e^{-x^2}+e^{-x^2}}{x^3}*dx [/mm]


edit: Wieder ein "-" vergessen

Bezug
                                                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,

> wenn ich das bei y einsetze erhalte ich doch
>  
> [mm]y=-\frac{1}{2}*\frac{e^{-x^2}}{x^2}[/mm]
>  


Dies ist jetzt die partikuläre Lösung.


> Das dann in den Ansatz eingesetzt:
>
> [mm]y'+\frac{e^{-x^2}}{x^3}=\frac{e^{-x^2}}{x}[/mm]
>  
> [mm]y'=\frac{x^2*e^{-x^2}-e^{-x^2}}{x^3}[/mm]
>  
> Muss ich jetzt wieder nach y auflösen? Also:
>  
> dy = [mm]\frac{x^2*e^{-x^2}-e^{-x^2}}{x^3}*dx[/mm]  


Jetzt musst Du die allgemeine der gegebenen DGL angeben.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:53 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Dankeschön für die Hilfe,
nur damit ich das richtig verstanden habe:
Um die allgemeine Lösung für die gegebene DGL zu bekommen, muss ich jetzt

[mm] \frac{x^2\cdot{}e^{-x^2}-e^{-x^2}}{x^3}\cdot{}dx [/mm] integrieren?



Gruß Schulz

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Sa 10.12.2011
Autor: MathePower

Hallo Schulz,

> Dankeschön für die Hilfe,
>  nur damit ich das richtig verstanden habe:
>  Um die allgemeine Lösung für die gegebene DGL zu
> bekommen, muss ich jetzt
>
> [mm]\frac{x^2\cdot{}e^{-x^2}-e^{-x^2}}{x^3}\cdot{}dx[/mm]
> integrieren?
>  


Nein.

Die homogene Lösung der DGL ist [mm]y_{h}\left(x\right)=\bruch{c}{x^{2}}[/mm]

Die partikuläre der DGL lautet: [mm]y_{p}\left(x\right)=-\bruch{1}{2}*\bruch{e^{-x^{2}}}{x^{2}}[/mm]

Die allgemeine Lösung der DGL setzt sich aus
der homogenen Lösung und der partikulären Lösung zusammen.


>
> Gruß Schulz


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Ah habs gerade gefunden: y = [mm] y_{p}\left(x\right) [/mm] + [mm] y_{h}\left(x\right) [/mm]

y= [mm] \frac{-\frac{1}{2}*e^{-x^2}+c}{x^2} [/mm]

Das müsste die Lösung sein oder?

Gruß Schulz

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Sa 10.12.2011
Autor: Martinius

Hallo,

> Ah habs gerade gefunden: y = [mm]y_{p}\left(x\right)[/mm] +
> [mm]y_{h}\left(x\right)[/mm]
>  
> y= [mm]\frac{-\frac{1}{2}*e^{-x^2}+c}{x^2}[/mm]
>  
> Das müsste die Lösung sein oder?
>  
> Gruß Schulz


Ja, die Lösung ist richtig.

LG, Martinius

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:34 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Dankeschön an alle die mir geholfen haben ;)
Hätte nie gedacht, dass ich so schnell so gute Antworten bekomme =)

Gruß Schulz

Bezug
                        
Bezug
Trennung der Variablen in DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Sa 10.12.2011
Autor: Schulz

Hab oben übrigens ein Minus verschlampt, aber anscheinend kann ich es nicht editieren O.o

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]