Trennung der Veränderliche < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Eine ODE der Form x'=f(x)*g(t) mit f,g: [mm] \IR -->\IR [/mm] stetig, kann mit der Methode der Trennung der Veränderlichen gelöst werden. Dazu bestimmt man Stammfkt. F von 1/f und G von g und löst die implizite Gleichung F(x(t))-G(t)=C für bel. vorgegebene Integrationskonstanten C [mm] \in \IR [/mm] nach x(t).
Löse die Anfangswertprobleme:
a) x'=x*t, x(1)=-1 |
ich bekomme zwar Lösungen für dieses AWP, aber irgendwie ist meine Lsg. widersprüchlich:
Also es gilt für f(x)=x und g(t)=t, dass F(x)=ln|x| und [mm] G(t)=(1/2)*t^2
[/mm]
dann folgt, dass:
C= ln|-1|-1/2= -1/2 = C
somit hätte ich die spezielle Lösung für C= -1/2.
Aber wenn ich die gleichung umstelle bekomme ich die Lösung der DGL:
x(t) [mm] =e^{(-1/2)+t^2/2)}
[/mm]
mit [mm] x(1)\not= [/mm] -1? wo liegt mein Problem, weiß das vielleicht einer?
ich wäre über eure Hilfe sehr froh.
Danke
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Hallo
> Löse die Anfangswertprobleme:
> a) x'=x*t, x(1)=-1
> ich bekomme zwar Lösungen für dieses AWP, aber irgendwie
> ist meine Lsg. widersprüchlich:
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> Also es gilt für f(x)=x und g(t)=t, dass F(x)=ln|x| und
> [mm]G(t)=(1/2)*t^2[/mm]
>
Gut, das stimmt soweit :) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann folgt, dass:
>
> C= ln|-1|-1/2= -1/2 = C
Ich weiss nicht ganz, ob du die Konstante jetzt schon bestimmen solltest.. aber lassen wir ma.
>
> somit hätte ich die spezielle Lösung für C= -1/2.
>
> Aber wenn ich die gleichung umstelle bekomme ich die
> Lösung der DGL:
>
> x(t) [mm]=e^{(-1/2)+t^2/2)}[/mm]
>
> mit [mm]x(1)\not=[/mm] -1? wo liegt mein Problem, weiß das
> vielleicht einer?
Hier kommt noch ein - vor deinem e. Also mal langsam:
x'(t) = [mm] c*e^{\bruch{1}{2}t^{2}}
[/mm]
Jetzt Anfangsbedingung einsetzen: x(1) = -1
Das ergibt [mm] c*e^{\bruch{1}{2}} [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{e}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x'(t) = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{e}}*e^{\bruch{1}{2}t^{2}} [/mm] = [mm] -e^{-\bruch{1}{2}}*e^{\bruch{1}{2}t^{2}} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x'(t) = [mm] -e^{\bruch{1}{2}t^{2} - \bruch{1}{2}}
[/mm]
So, jetzt stimmts :)
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> ich wäre über eure Hilfe sehr froh.
Grüsse, Amaro
>
> Danke
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Hallo Arcesius,
Vielen Dank für deine Hilfe. Nur verstehe ich nicht alles, warum ist z.B.
x'(t) = [mm] c*e^{\bruch{1}{2}t^{2}} [/mm]
müsste das nicht lauten: [mm] x'(t)=e^{c}*e^{\Bruch{1}/{2}t^{2}}
[/mm]
Jetzt Anfangsbedingung einsetzen: x(1) = -1
Das ergibt [mm] c*e^{\bruch{1}{2}} [/mm] = -1 [mm] \Rightarrow [/mm] c = [mm] -\bruch{1}{\wurzel{e}}
[/mm]
und warum folgt obige gleichung, also x'(t)=-1 aus der Anfangsbedingung?. wäre somit nicht x'(1)=x(1)?? muss das sein?
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Hallo
> Hallo Arcesius,
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> Vielen Dank für deine Hilfe. Nur verstehe ich nicht alles,
> warum ist z.B.
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> x'(t) = [mm]c*e^{\bruch{1}{2}t^{2}}[/mm]
>
> müsste das nicht lauten:
> [mm]x'(t)=e^{c}*e^{\Bruch{1}/{2}t^{2}}[/mm]
>
Nun, [mm] e^{c} [/mm] ist wieder nur ne Konstante.. es spielt also keine Rolle, ob ich sie wieder als c hinschreibe.. Es ist als würde da stehen [mm] e^{c_{1}}*e^{\bruch{1}{2}t^{2}} [/mm] und dann schreibe ich einfach c := [mm] e^{c_{1}}.. [/mm] machts einen Unterschied? ;)
> Jetzt Anfangsbedingung einsetzen: x(1) = -1
>
> Das ergibt [mm]c*e^{\bruch{1}{2}}[/mm] = -1 [mm]\Rightarrow[/mm] c =
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{e}}[/mm]
>
> und warum folgt obige gleichung, also x'(t)=-1 aus der
> Anfangsbedingung?. wäre somit nicht x'(1)=x(1)?? muss das
> sein?
>
Das ist mein Fehler... es steht natürlich nicht x'(t) = ... sondern x(t) = ... du hast ja integriert! :)
Grüsse, Amaro
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ah ok jetzt habe ichs verstanden. danke. Nur noch eine Frage zur Konstanten C. C ist aus [mm] \IR.
[/mm]
somit wäre die konstante [mm] e^{c} \in \IR_+.
[/mm]
Wieso kann ich dann [mm] e^{c} [/mm] durch eine beliebige konstante c [mm] \in \IR [/mm] ersetzen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das Problem liegt hier an dem negativen x und dem ln(|x|)
1. du hast beim integrieren nicht geschrieben [mm] x\ne0 [/mm]
du kannst fuer x=0 die Dgl nicht einfach so loesen. F(0) existiert ja nicht.
wenn x irgendwo negativ ist, bleibt es negativ, da es nicht ueber 0 kann. fuer [mm] x(t_0)=0 [/mm] gibts keine eindeutige Loesung. oder nur x=const=0
deshalb musst du fuer negative x extra rechnen.
also fallunterscheidung: [mm] x(t_0)>0 [/mm] und [mm] x(t_0)>0 [/mm] und [mm] x(t_0)=0
[/mm]
vielleicht hilft das Isoklinenbild das klarer zu machen.
in vielen Punkten der xtebenen sind x' als steigungen eingetragen, die verbindung sind Loesungskurven, einige davon sind schon eingezeichnet.
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Bild mir 3D-XploreMath hergestellt)
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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ok für x=0 gibt es keine Lösung für das AWP. das sehe ich ein.
Darum muss ich x=0 außschließen.
Aber warum muss ich den Fall x<0 extra behandeln? und warum kann es keine lösung x geben, die sowohl positive als auch negative werte annimmt?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 So 25.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du von - nach + willst musst du ueber 0.
Die meisten Leute machen das ganz formal, einfach C statt [mm] e^C [/mm] und kommen so aufs richtige Ergebnis.
Du hattest das genauer wissen wollen, deshalb musst dus dann auch fuer neg. x einzeln machen. das integral von a bis [mm] t_0 [/mm] mit [mm] a
Gruss leduart
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ok danke.
nun ist mir alles klar.
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