Treppenfunktion < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 31.03.2009 | | Autor: | McArthur |
| Aufgabe | Sie $ f:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] $ definiert durch
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2^n}, & \mbox{für } \bruch{1}{2^{n+1}}
Zeigen Sie das $f$ integrierbar ist und berechne [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm] |
Ich habe mir bereits einige Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob das als formaler Beweis so richtig ist und ob es reicht.
Und zwar gilt für ein beliebiges $n$ [mm] \in\IN\cup{0}:
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] I = [mm] (\bruch{1}{2^{n+1}},\bruch{1}{2^{n}} [/mm] ] gilt [mm] f(x)=\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
[mm] a:=\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] ; [mm] b:=\bruch{1}{2^{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow A_n [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n}} \cdot (\bruch{1}{2^{n}}-\bruch{1}{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{4^{n}}
[/mm]
Für [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] gilt demnach [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] A_0 [/mm] + [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2 [/mm] +.... = [mm] \summe_{i=0}^{n} A_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{4^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{3}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Ist damit gezeigt das $f$ integriebar ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Di 31.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sie [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2^n}, & \mbox{für } \bruch{1}{2^{n+1}}
>
> Zeigen Sie das [mm]f[/mm] integrierbar ist und berechne
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
> Ich habe mir bereits einige
> Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob das als formaler
> Beweis so richtig ist und ob es reicht.
> Und zwar gilt für ein beliebiges [mm]n[/mm] [mm]\in\IN\cup{0}:[/mm]
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I = [mm](\bruch{1}{2^{n+1}},\bruch{1}{2^{n}}[/mm] ]
> gilt [mm]f(x)=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> [mm]a:=\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] ; [mm]b:=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A_n[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \cdot (\bruch{1}{2^{n}}-\bruch{1}{2^{n+1}})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{4^{n}}[/mm]
>
> Für [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] gilt demnach
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]A_0[/mm] + [mm]A_1[/mm] + [mm]A_2[/mm] +.... =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} A_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{4^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \cdot \bruch{3}{1-\bruch{1}{4}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
Es sollte wohl so lauten:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} A_n [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{n}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{3}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $
>
> Ist damit gezeigt das [mm]f[/mm] integriebar ist?
f ist auf [0,1] monoton, somit ist f dort integrierbar
(hattet Ihr diesen Satz ?)
Das Integral hast Du korrekt berechnet, allerdings weiß ich nicht, was Ihr an Hilfsmitteln hattet, welche diese Vorgehensweise rechtfertigen
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Di 31.03.2009 | | Autor: | McArthur |
Den von dir genannten Satz hatten wir, also muss ich noch zeigen das $f$ monoton ist, woraus die Integrierbarkeit auf [0,1] folgt.
Welche Hilfsmittel braucht man denn damit meine Antwort bezüglich der Größe des Integrals richtig ist.
Wenn man das Integral als Fläche intepretiert sind es doch die immer kleiner werdenen Rechtecke die aufaddiert werden. Höhe und Breite des Rechtecks sind ja durch die Funktion vorgegeben:
$ [mm] a:=\bruch{1}{2^{n}} [/mm] $ bwz. $ [mm] a:=\bruch{1}{2^{n+1}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Mi 01.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Den von dir genannten Satz hatten wir, also muss ich noch
> zeigen das [mm]f[/mm] monoton ist, woraus die Integrierbarkeit auf
> [0,1] folgt.
ich habe gerade nochmal selbst danach gesucht, jedenfalls findet man ihn ![[]](/images/popup.gif) hier, falls jemand diesen nachlesen möchte (Satz 4.1.3.3).
> Welche Hilfsmittel braucht man denn damit meine Antwort
> bezüglich der Größe des Integrals richtig ist.
Wenn man mit der Lebesgueschen Integrationstheorie vertraut ist, kann man sich durchaus (mit der obigen Vorüberlegung) auf Satz 10.7 hier berufen. Und dann kannst Du einfach mit einer Folge von geeigneten Treppenfunktionen arbeiten, die auf [mm] $[0,1]\,$ [/mm] glm. gegen [mm] $f\,$ [/mm] konvergiert. Du wirst solch eine Folge [mm] $(f_n)_n$ [/mm] von (geeigneten) Treppenfunktionen [mm] $f_n$ [/mm] mit [mm] $\|f_n-f\|_{\infty}:=\sup\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [0,1]\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] sicher leicht selbst angeben können. Im Prinzip kommt man dann so zu Deiner Reihe. (Bzw. schau' auch einfach mal hier.)
> Wenn man das Integral als Fläche intepretiert sind es doch
> die immer kleiner werdenen Rechtecke die aufaddiert werden.
> Höhe und Breite des Rechtecks sind ja durch die Funktion
> vorgegeben:
> [mm]a:=\bruch{1}{2^{n}}[/mm] bwz. [mm]a:=\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm]
Du darfst bzw. solltest Dich nicht nur an die Anschauung halten, bei der Anschauung kann man Trugschlüssen unterliegen (wenngleich das hier eher unwahrscheinlich ist bzw. Du auch nicht wirklich einem unterlegen bist). Es ist wichtig, dass Du Dich an die theoretischen Kenntnisse hältst bzw. erinnerst und damit arbeitest (also sagen wir mal so: Die 'Anschauung' sollte Dir hier die Idee liefern, wie Du das, was Du in der Aufgabe zu tun hast, in die Theorie 'einarbeitest'. Aber Argumente diesbezüglich sollten nicht so sein, dass Du sagst: "Anhand des Graphen sieht man ja, dass die folgende Fläche gesucht ist..."; sondern Du solltest eher überlegen: 'Was sehe ich? Wie kann ich das mithilfe der Theorie "verarbeiten" bzw. dort einarbeiten? Welche Argumente brauche ich dazu (also auf welche bei mir bisher vorhandenen Kenntnisse kann ich mich berufen und wie gelange ich damit zum Ziel...)...).
Denn manchmal 'glaubt man auch etwas zu sehen, nimmt das als offensichtlich an (man sieht es ja!), arbeitet damit weiter und gelangt so zu theoretisch 'unglaublichen Aussagen'. Unglaublich deshalb, weil diese Aussagen dann meist zu anderen bereits bewiesenen Tatsachen im Widerspruch stehen.
Umgekehrt läßt sich auch nicht alles, was man weiß, visualisieren. Z.B. kann man die Existenz einer Funktion, die auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] stetig, aber nirgends differenzierbar ist, nachweisen. Ich kenne den Beweis und da ist alles einwandfrei, es geht jedenfalls z.B. mit einem gewissen Grenzprozess, aber es ist mir jedenfalls so gut wie unmöglich, den Graph der Grenzfunktion auch nur ansatzweise vernünftig vorzustellen. Die Existenz einer solchen Funktion ist eine bewiesene Tatsache, der Beweis ist lückenlos (man findet diese Aussage auch in der Funktionalanalysis, welche in einem gewissen Sinne 'noch abstrakter' ist!), aber das Ergebnis der Überlegungen ist recht überraschend, und mehr, als den Graphen einer solchen Funktion 'anzudeuten', ist wohl keinem möglich. Es kann also eine gewisse 'Diskrepanz' zwischen mathematischer Theorie und 'Anschauung(sversuchen)' bestehen.
Nun aber zurück zur Aufgabe:
Wenn Du nicht mit der Lebesgueschen Integrationstheorie vertraut bist, so kommt es sicher auch auf Deine bisherigen Kenntnisse, die Du bzgl. der Riemannschen Integrationstheorie hast, an, was Du machen darfst. Denn jeder Schritt muss begründet werden.
Du kannst aber hier auch einfach mit Ober- und Untersummen arbeiten (vgl. z.B. Wiki, Riemann-Integral), oder aber, und damit gelangst Du dann auch auf Deine Reihe bzw. Deinen Reihenwert, Du verwendest Satz 5.1.5 von hier (interessant ist für der Teil "Insbesondere gilt für jede Funktion..."):
Du weißt ja schon, dass [mm] $\int_0^1 [/mm] f$ im Riemann-Sinne existiert, also gilt für jede Zerlegungsnullfolge [mm] $(\tilde{Z}_n)_n$ [/mm] von $[0,1]$, dass...
Jetzt wähle z.B. mal speziell die Zerlegungsnullfolge [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $Z_n:=(0,\;1/2^n,\;1/2^{n-1},\;1/2^{n-2},\;...,\;1)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$). [/mm] (Warum ist das eine Zerlegungsnullfolge von [mm] $[0,1]\,$?).
[/mm]
Überlege Dir, was hier [mm] $s(Z_n,f)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] ist und zeige damit, dass
[mm] $$s(Z_n,f) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \bruch{1}{2} \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \cdot \bruch{3}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}\,.$$
[/mm]
Damit hast Du dann alles gezeigt, denn:
Wie Fred schon erwähnte, folgt aus der Monotonie von [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]\,$, [/mm] dass [mm] $f\,$ [/mm] dort Riemann-int'bar ist. Nach dem zuletzt zitierten Satz 5.1.5 gilt dann für jede Zerlegungsnullfolge [mm] $(\tilde{Z}_n)_n$ [/mm] von [mm] $[0,1]\,$, [/mm] dass [mm] $s(\tilde{Z}_n,f) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \int_0^1 f\;\;\;\;\;\big(:= \int_0^1 f(x)dx\big)$ [/mm] strebt.
Da mit [mm] $Z_n:=(0,\;1/2^n,\;1/2^{n-1},\;1/2^{n-2},\;...,\;1)$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] dann [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] eine Zerlegungsnullfolge von [mm] $[0,1]\,$ [/mm] ist, gilt somit auch
[mm] $$s(Z_n,f) \underset{n \to \infty}{\longrightarrow} \int_0^1 f\,.$$
[/mm]
Und wenn Du Dir die obige spezielle Zerlegungsfolge [mm] $(Z_n)_n$ [/mm] anguckst, so sollte es Dir dann nicht schwerfallen, [mm] $s(Z_n,f)$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] anzugeben (zur Klärung: Die Definition von [mm] $s(Z_n,f)$ [/mm] findest Du in Definition 5.1.1) und damit dann nachzuweisen, dass [mm] $\lim_{n \to \infty} s(Z_n,f)$ [/mm] existiert und diesen konkret anzugeben. Nach Satz 5.1.5 ist dieser Limes gerade [mm] $\int_0^1 f\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mi 01.04.2009 | | Autor: | McArthur |
Hallo Marcel,
danke für deine ausführliche Antwort. Ich werde sie durcharbeiten, ich hoffe das sich der Beweis dann von mir aufstellen lässt.
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 31.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Sie [mm]f:[0,1] \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{2^n}, & \mbox{für } \bruch{1}{2^{n+1}}
>
> Zeigen Sie das [mm]f[/mm] integrierbar ist und berechne
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
> Ich habe mir bereits einige
> Gedanken gemacht, weiß aber nicht ob das als formaler
> Beweis so richtig ist und ob es reicht.
> Und zwar gilt für ein beliebiges [mm]n[/mm] [mm]\in\IN\cup{0}:[/mm]
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] I = [mm](\bruch{1}{2^{n+1}},\bruch{1}{2^{n}}[/mm] ]
> gilt [mm]f(x)=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> [mm]a:=\bruch{1}{2^{n+1}}[/mm] ; [mm]b:=\bruch{1}{2^{n}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A_n[/mm] = [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2^{n}} \cdot (\bruch{1}{2^{n}}-\bruch{1}{2^{n+1}})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \cdot \bruch{1}{4^{n}}[/mm]
>
> Für [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] gilt demnach
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]A_0[/mm] + [mm]A_1[/mm] + [mm]A_2[/mm] +.... =
> [mm]\summe_{i=0}^{n} A_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{2} \summe_{i=0}^{n} \bruch{1}{4^{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \cdot \bruch{3}{1-\bruch{1}{4}}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Ist damit gezeigt das [mm]f[/mm] integriebar ist?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo, kannst du nicht einfach
[mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
zerlegen i eine Summe von unendlich vielen Teilintegralen?
[mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]=[mm]\integral_{0,5}^{1}{f(x) dx}.[/mm]+[mm]\integral_{0,25}^{0,5}{f(x) dx}.[/mm]+...
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:15 Mi 01.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, kannst du nicht einfach
So einfach ist das nicht !
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]
> zerlegen i eine Summe von
> unendlich vielen Teilintegralen?
Darum ging es mir oben. Welche Hilfsmittel hat McArthur in seinen Vorlesungen kennengelernt, die diese Vorgehensweise rechtfertigen. Siehe auch die Antwort von Marcel
FRED
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}.[/mm]=[mm]\integral_{0,5}^{1}{f(x) dx}.[/mm]+[mm]\integral_{0,25}^{0,5}{f(x) dx}.[/mm]+...
>
> Gruß Abakus
>
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