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| Aufgabe | [mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls} x<\bruch{1}{2} \\ 1, & \mbox{falls} x\ge \bruch{1}{2} \end{cases}$
[/mm]
Ist f auf [0,1] Riemann-integrierbar? Hat f auf [0,1] eine Stammfunktion? |
Hallo =)
Ich habe die Aufgabe bereits gelöst, aber da ich nicht so sicher in Analysis bin, würde ich mich freuen, falls mir jemand sagen kann ob meine Argumentation schlüssig ist.
f ist auf [0,1] R-integrierbar, da f eine Treppenfunktion ist. Damit ist die Definition für R-Integrierbarkeit erfüllt:
Oberintegral=Unterintegral. (Die Funktion würde ja hier durch eine Treppenfunktion approximiert werden, da f aber selber schon eine Treppenfunktion ist fällt das weg) Das haben wir allerdings auch schonmal in der Vorlesung bewiesen.
Zur zweiten Frage:
f(x) hat eine Stammfunktion auf dem Intervall [0,1], falls f(x) stetig.
f(x) stetig auf [mm] $[0,\bruch{1}{2})$ [/mm] und [mm] $[\bruch{1}{2},1]$ [/mm] da f konstant auf diesen Intervallen. Der strittige Punkt ist also [mm] $f(\bruch{1}{2})$.
[/mm]
Um nachzuwesien, dass es eben nicht stetig in [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] ist habe ich das Folgenkriterium benutzt.
Sei [mm] $(x_{k})_{k\in\IN}$ [/mm] eine Folge die gegen 1/2 konvergiert, z.B. 0,1/12,1/11,1/10,1/9,...
Dann gilt [mm] $f(x_{k})\to [/mm] 0$, da [mm] $\forall x\in[0,\bruch{1}{2}) [/mm] f(x)=0$, aber [mm] $f(\bruch{1}{2})=1$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow f(x_{k})$ [/mm] konvergiert nicht gegen [mm] $f(\bruch{1}{2})$.
[/mm]
Ich hoffe, es ist nicht zu durcheinander aufgeschrieben...
Ich danke an dieser Stelle auch noch einmal allen die mir erfolgreich durch das erste Semester geholfen haben! Dank euch habe ich Analysis 1 mit 2,0 abgeschlossen.
LG Angelnoir
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{falls} x<\bruch{1}{2} \\ 1, & \mbox{falls} x\ge \bruch{1}{2} \end{cases}[/mm]
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> Ist f auf [0,1] Riemann-integrierbar? Hat f auf [0,1] eine
> Stammfunktion?
> Hallo =)
>
> Ich habe die Aufgabe bereits gelöst, aber da ich nicht so
> sicher in Analysis bin, würde ich mich freuen, falls mir
> jemand sagen kann ob meine Argumentation schlüssig ist.
>
> f ist auf [0,1] R-integrierbar, da f eine Treppenfunktion
> ist. Damit ist die Definition für R-Integrierbarkeit
> erfüllt:
> Oberintegral=Unterintegral. (Die Funktion würde ja hier
> durch eine Treppenfunktion approximiert werden, da f aber
> selber schon eine Treppenfunktion ist fällt das weg) Das
> haben wir allerdings auch schonmal in der Vorlesung
> bewiesen.
Du könntest auch so argumentieren:
f ist auf [0,1] monoton.
oder
f hat in nur eine Unstetigkeitspunkt.
>
> Zur zweiten Frage:
> f(x) hat eine Stammfunktion auf dem Intervall [0,1], falls
> f(x) stetig.
> f(x) stetig auf [mm][0,\bruch{1}{2})[/mm] und [mm][\bruch{1}{2},1][/mm] da f
> konstant auf diesen Intervallen. Der strittige Punkt ist
> also [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm].
> Um nachzuwesien, dass es eben nicht stetig in [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> ist habe ich das Folgenkriterium benutzt.
> Sei [mm](x_{k})_{k\in\IN}[/mm] eine Folge die gegen 1/2
> konvergiert, z.B. 0,1/12,1/11,1/10,1/9,...
> Dann gilt [mm]f(x_{k})\to 0[/mm], da [mm]\forall x\in[0,\bruch{1}{2}) f(x)=0[/mm],
> aber [mm]f(\bruch{1}{2})=1[/mm].
> [mm]\Rightarrow f(x_{k})[/mm] konvergiert nicht gegen
> [mm]f(\bruch{1}{2})[/mm].
>
> Ich hoffe, es ist nicht zu durcheinander aufgeschrieben...
jetzt hast Du: f ist in x=1/2 nicht stetig. Nun wissen wir aber immer noch nicht , ob f auf [0,1] eine Stammfunktion hat .....
FRED
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> Ich danke an dieser Stelle auch noch einmal allen die mir
> erfolgreich durch das erste Semester geholfen haben! Dank
> euch habe ich Analysis 1 mit 2,0 abgeschlossen.
>
> LG Angelnoir
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Oh... ich war mir fast sicher, dass es eine Voraussetzung ist, dass f(x) stetig sein muss, damit es eine Stammfunktion geben kann.
Nunja, dann habe ich zumindest mal einen Stetigkeitsbeweis gemacht und verstanden.
Was muss ich denn zeigen für eine Stammfunktion?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oh... ich war mir fast sicher, dass es eine Voraussetzung
> ist, dass f(x) stetig sein muss, damit es eine
> Stammfunktion geben kann.
Ja, das stimmt schon: f stetig [mm] \Rightarrow [/mm] f besitzt eine Stammfunktion. Aber die Umkehrung ist falsch.
> Nunja, dann habe ich zumindest mal einen Stetigkeitsbeweis
> gemacht und verstanden.
>
> Was muss ich denn zeigen für eine Stammfunktion?
Zeige durch Widerspruch, dass Dein obiges f keine Stammfunktion auf [0,1] besitzt.
FRED
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