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| Aufgabe | Zeigen Sie mittels Treppenfunktionen:
[mm] \integral_{-b}^{b}{sin(x) dx}=0 [/mm] für ein b>0. |
Guten Tag und einen schönen Rest-Ostermontag allerseits!
Die Aufgabe zu der ich die Fragen habe ist eine Aufgaben zur Analysis II, 2. Semester Mathematik B.Sc.
Dass das entsprechende Integral 0 ist, ist sowohl anschaulich, als auch mit "normaler Schulintegration" klar, denn
[mm] \integral_{-b}^{b}{sin(x) dx}=-cos(b)-(-cos(-b))=cos(-b)-cos(b)=cos(b)-cos(b)=0.
[/mm]
Nun soll man das ganze aber ja über Treppenfunktionen lösen. Da habe ich das Problem, dass ich das wunderbar für monotone Funktionen machen kann, weil ich dann die entsprechenden "y-Werte" (Säulenhöhen) der Ober- und Untersummen leicht angeben kann.
z.B. mon. fallende Fkt.:
Zerlegung mit [mm] x_{i}=a+\bruch{b-a}{n}*i [/mm] und [mm] f(x_{i}) [/mm] als "Höhe" der Säulen der Untersumme.
Doch der Sinus ist ja leiter nicht monoton. Ich kann ihn zwar in monotone Teilstücke unterteilen und mit Ober- bzw. Untersummen arbeiten, aber das bringt mich nicht wirklich weiter.
Also hier würde mich v.a. interessieren, ob es durchgehende Treppenfunktionen für den Sinus gibt, mit denen ich arbeiten kann. Ich bin über jegliche LösungsANSÄTZE sehr dankbar ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:50 Mo 21.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
di kannst die Untersumme mit [mm] \min_{x_i\leq x\leq x_{i+1}}(f(x)) [/mm] definieren, entsprechend mit max die Obersumme.
Gruß leduart
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Okay zunächst mal danke für den Tipp!
Mein Vorgehen ist jetzt wie folgt:
[mm] phi_{n}(x):=min(sin(x)|x_{i-1} \le [/mm] x < [mm] x_{i})
[/mm]
[mm] psi_{n}(x):=max(sin(x)|x_{i-1} \le [/mm] x < [mm] x_{i})
[/mm]
[mm] x_{i}:=a+\bruch{b-a}{n}*i=-b+\bruch{b-(-b)}{n}*i=-b+\bruch{2b}{n}*i
[/mm]
[mm] \integral_{-b}^{b}{phi_{n}(x) dx}=\summe_{i=1}^{n}(min(sin(x)|x_{i-1} \le [/mm] x < [mm] x_{i})*(x_{i-1}-x_{i})=\bruch{2b}{n}*\summe_{i=1}^{n}(min(sin(x)|x_{i-1} \le [/mm] x < [mm] x_{i})
[/mm]
Nun muss ich irgendwie zeigen, dass für n gegen unendlich der ganze Term gegen 0 geht. Da [mm] \bruch{2b}{n} [/mm] das ja tut, müsste ich eigentlich nur noch zeigen, dass die Summe in irgend einer weise beschränkt ist, aber ich weiß nicht wie. Klar ist das Minimum über die Sinus Werte durch -1 beschränkt, weil der Sinus keine geringeren Werte annehmen kann, aber das führt dann nur dazu, dass ich eine Summe über -1 habe, die bei n gegen unendlich auch gegen - unendlich geht. Das löst leider nicht mein Problem der Beschränktheit der Summe.
Also hier wäre ich für einen weiteren Hinweis sehr dankbar ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mo 21.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich musst du die Eigenschaft von sin(x)=-sin(-x) ausnutzen, slao die Summe von -b bis 0 und 0bis b vergleichen. und warum integrierst du jetzt über [mm] \phi_n [/mm] den Schritt verstehe ich nicht. die [mm] \phi_i [/mm] waren doch für die Treppenfkt?
Gruss leduart
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Also ich integriere über [mm] \phi, [/mm] weil wir das immer so gemacht haben bisher, dass wir [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] so konstruieren, dass sie Treppenfunktionen unter- bzw. oberhalb von f sind. Dann integriere ich über [mm] \phi [/mm] und [mm] \psi [/mm] (weil man das ja kann, da es Treppenfunktionen sind) und bilde den Grenzwert für n gegen unendlich. Ist der Grenzwert gleich, so folgt mit dem "Sandwich-Lemma" dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{\phi_{n}(x) dx} \le \integral_{a}^{b}{f(x) dx} \le \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{\psi_{n}(x) dx} [/mm] und damit ist das zu bestimmende Integral über f gleich dem Grenzwert der beiden Äußeren integrale.
Deinen zweiten Tipp lass ich mir jetzt mal durch den Kopf gehen, aber beim ersten Durchlesen wusste ich gerade noch nicht so genau was ich machen muss :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Mo 21.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein [mm] \phi_n [/mm] ist doch nur ein _Wert in einem Intervall und keine Treppenfunktion? was soll der Index n sein?
ohne dass du die Punktsymmetrie von sin ausnutzt kannst du doch sicher nicht 0 rauskriegen.
Gruß leduart
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Also es ist so gemeint, dass [mm] \phi_{n} [/mm] für alle Werte x mit [mm] x_{i-1} \le [/mm] x [mm] \le x_{i} [/mm] den konstanten Wert [mm] min(sin(x)|x_{i-1} \le [/mm] x [mm] \le x_{i}) [/mm] hat.
Vielleicht verdeutlicht das es etwas besser:
Wähle für eine äquidistante Zerlegung [mm] (x_{i})_{0 \le i \le n}, x_{i}=-b+\bruch{2b}{n}*i [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n Treppenfunktionen [mm] \phi_{n}, \psi_{n} \in [/mm] [-b,b], welche durch [mm] \phi_{n}:= [/mm] min(sin(x)), [mm] \psi_{n}:= [/mm] max(sin(x)) für [mm] x_{i-1} \le [/mm] x [mm] \le x_{i}, [/mm] für alle 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n und [mm] \phi_{n}(b)=\psi_{n}(b)=f(b) [/mm] gegeben sind.
Das habe ich so (größtenteils) aus einer von der Uni vorgegebenen Musterlösung zu einer anderen Treppenfunktionsaufgabe übernommen und die Sachen entsprechend abgeändert.
Kannst du vielleicht etwas präzisieren, wie ich deiner Meinung nach vorgehen soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 Di 22.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreibe das Integral bzw die unter und Obersummen von -b bis 0 und von 0 bis -b
zeige aus sinx=-sin(-x) dass die 2 Summen entgegengesetzt gleich sind.
dafür kannst du auch irgendeine Unterteilung, nicht unbedingt Ober und Untersumme nehmen, nur links und rechts dieselbe.
gruß leduart
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