Treppenzahldarstellung < Fachdidaktik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Di 02.10.2012 | | Autor: | gimbo |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle möglichen Treppenzahldarstellungen der Zahl 210. Geben Sie dabei jeweils de zugehörigen Teiler und die jeweilige Zerlegung in die einzelnen Summanden an. |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:( Ich weiß nur wie ich die Anzahl ungerader Teiler der Zahl bestimmen könnte und wie viele Treppenzahldarstellungen es für dieses Zahl gibt (Eine natürlich Zahl lässt sich auf genauso viele verschiedene Treppenzahldarstellungen darstellen , wie sie ungerade Teiler größer 1 hat). Weiter komme ich einfach nicht und bin echt verzweifelt:( Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo gimbo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Na, ein bisschen mehr kannst du schon, oder?
> Bestimmen Sie alle möglichen Treppenzahldarstellungen der
> Zahl 210. Geben Sie dabei jeweils de zugehörigen Teiler
> und die jeweilige Zerlegung in die einzelnen Summanden an.
> Hallo,
>
> ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter:( Ich
> weiß nur wie ich die Anzahl ungerader Teiler der Zahl
> bestimmen könnte und wie viele Treppenzahldarstellungen es
> für dieses Zahl gibt (Eine natürlich Zahl lässt sich auf
> genauso viele verschiedene Treppenzahldarstellungen
> darstellen , wie sie ungerade Teiler größer 1 hat).
Ach, das wusste ich noch nicht. Aber auch ohne dieses Wissen ist die Aufgabe doch zu bearbeiten.
> Weiter komme ich einfach nicht und bin echt verzweifelt:(
> Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen!
Mein Mitgefühl. 
Hier hängt viel vom Ansatz ab. Ich fange mal kompliziert an.
Nehmen wir eine allgemeine Darstellung einer Treppenzahl T:
[mm] T=\summe_{i=m}^{n}i
[/mm]
Sind m und n gerade, so ist T ungerade, wenn [mm] n-m\equiv 2\mod{4} [/mm] und gerade, wenn [mm] n-m\equiv 0\mod{4} [/mm] ist.
Sind m und n ungerade, so ist T gerade, wenn [mm] n-m\equiv 2\mod{4} [/mm] und ungerade, wenn [mm] n-m\equiv 0\mod{4}
[/mm]
Ist m+n ungerade, so ist T ungerade.
Daraus folgt, dass für T=210 m,n beide ungerade oder beide gerade sind, und dass [mm] \bruch{n-m}{2}\equiv 0\mod{2} [/mm] ist.
Ab hier könnte es jetzt mühsam werden und einige Fallunterscheidungen erfordern, aber man kann auch folgendes erkennen:
In der "Mitte" der Summanden steht eine gerade Zahl; nennen wir sie einfach 2k. Davor und danach stehen je a Summanden, so dass m=2k-a und n=2k+a.
Nun ist einfach zu überlegen, dass [mm] T=\summe_{i=2k-a}^{2k+a}i=2k(2a+1) [/mm] ist. Außerdem muss 2k-a>0 sein.
Ab hier ist der Weg einfach und nicht mehr weit. Es gilt 210=2*3*5*7. Da sind ja nicht viele Kombinationen 2k(2a+1) zu betrachten. Es darf weiterhin a>0 angenommen werden.
Also?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:01 Mi 03.10.2012 | | Autor: | gimbo |
hallo:)
also erst einmal bin ich total froh, dass mir überhaupt jemand geantwortet hat!! dankeee!!
Es hat mir auch schon ein bisschen weitergeholfen, jedoch versteh ich es immer noch nicht so richtig:-/
um es besser verstehen zu können habe ich die aussage "Sind m und n gerade, so ist T ungerade, wenn $ [mm] n-m\equiv 2\mod{4} [/mm] $ und gerade, wenn $ [mm] n-m\equiv 0\mod{4} [/mm] $ ist.
Sind m und n ungerade, so ist T gerade, wenn $ [mm] n-m\equiv 2\mod{4} [/mm] $ und ungerade, wenn $ [mm] n-m\equiv 0\mod{4} [/mm] $
Ist m+n ungerade, so ist T ungerade." auf ein von mir bekanntes beispiel ( Treppenzahldarstellung für die Zahl 105) angewandt, da ich nicht weiß was bei der jetzigen Aufgabe (TPZ-darstellung für 210) das m und das n wären.
So sind beim Typ UNGERADE 3*35 also 34+35+36 , das m=34 und n=36, richtig?
Beim Typ GERADE 35*3 wo ich 15+16+17+18+19+20 stehen habe, wäre also die 17 mein m und die 19 wäre das n?
jedoch verstehe ich nicht was sie mit "Ist m+n ungerade, so ist T ungerade." meinen und was das in meinem Beispiel wäre. Müsste ich dann zB m=34 und n=36 miteinander addieren? (summe wäre aber immer noch gerade...)
Und woher wissen wir ,dass "für T=210 m,n beide ungerade oder beide gerade sind..."?
"In der "Mitte" der Summanden steht eine gerade Zahl; nennen wir sie einfach 2k. Davor und danach stehen je a Summanden, so dass m=2k-a und n=2k+a."
Also wäre in meinem Beispiel m=nk-a also m= 35-1=34
und n=2k+a also n=35+1=16
"Ab hier ist der Weg einfach und nicht mehr weit. Es gilt 210=2*3*5*7. Da sind ja nicht viele Kombinationen 2k(2a+1) zu betrachten."
In meinem Beispiel also: 2k(2a+1) also 35(2+1)= 35*3=105 (stimmt!!)
Aber jetzt habe ich gemerkt, dass ich für 2k keine gerade zahl eingesetzt habe!! dann müsste ich also zb die 36 nehmen und dann wären 2k-1 =35 und 2k+1 =37 ? Aber was bringt mir das dann? und wenn ich dann 2k(2a+1) also 36*3 rechne kommt nicht 105 raus...
ach ich bin gerade total verwirrt... und ich weiß auch gar nicht wie ich das mit m und n auf die eigentliche aufgabe mit der 210 anwenden soll, da ich ja überhaupt nicht weiß wie ich das in die einzelnen summanden zerlegen kann:-( was wäre denn zb das 2k in der Aufgabe mit der 210?
Könnten sie mir den lösungsweg vielleicht einmal vorrechnen? und irgendwie einfacher erklären? (ich hatte zb noch kein rechnen mit modula)
das wäre echt sehr sehr sehr nett!!!
Danke!!!
|
|
|
| |
|
Hallo gimbo,
vorab: wie in allen mir bekannten Internetforen reden wir uns auch hier gegenseitig mit "du" an.
> also erst einmal bin ich total froh, dass mir überhaupt
> jemand geantwortet hat!! dankeee!!
Das kann Dir hier häufiger passieren. Es ist nämlich der Hauptzweck des Forums, dass Dir jemand anwortet.
> Es hat mir auch schon ein bisschen weitergeholfen, jedoch
> versteh ich es immer noch nicht so richtig:-/
>
> um es besser verstehen zu können habe ich die aussage
> "Sind m und n gerade, so ist T ungerade, wenn [mm]n-m\equiv 2\mod{4}[/mm]
> und gerade, wenn [mm]n-m\equiv 0\mod{4}[/mm] ist.
> Sind m und n ungerade, so ist T gerade, wenn [mm]n-m\equiv 2\mod{4}[/mm]
> und ungerade, wenn [mm]n-m\equiv 0\mod{4}[/mm]
> Ist m+n ungerade, so
> ist T ungerade." auf ein von mir bekanntes beispiel (
> Treppenzahldarstellung für die Zahl 105) angewandt, da ich
> nicht weiß was bei der jetzigen Aufgabe (TPZ-darstellung
> für 210) das m und das n wären.
Klar, das willst Du ja gerade herausbekommen. Allerdings ist es schlichtweg falsch, meine Aussagen mit einer ungeraden Treppenzahl zu überprüfen! Sie bezogen sich doch eben darauf, dass 210 gerade ist.
> So sind beim Typ UNGERADE 3*35 also 34+35+36 , das m=34 und
> n=36, richtig?
Es gibt keinen Typ UNGERADE. Aber Du hast m und n richtig identifiziert. Ich habe einfach der Anfangszahl den Namen m gegeben, und der Endzahl den Namen n. In der Namenswahl ist man ja völlig frei...
> Beim Typ GERADE 35*3 wo ich 15+16+17+18+19+20 stehen habe,
> wäre also die 17 mein m und die 19 wäre das n?
Seit wann ist 35*3 gerade?
In dieser Summierung ist m=15 und n=20. Diese Summe gehört also zum folgenden Typ.
> jedoch verstehe ich nicht was sie mit "Ist m+n ungerade, so
> ist T ungerade." meinen und was das in meinem Beispiel
> wäre. Müsste ich dann zB m=34 und n=36 miteinander
> addieren? (summe wäre aber immer noch gerade...)
Wenn die Anfangszahl m gerade und die Endzahl n ungerade ist oder umgekehrt, dann (und nur dann) ist m+n ungerade.
Allerdings habe ich da eine falsche Aussage getroffen.
T=3+4+5+6=18 ist gerade, obwohl m+n=3+6 ungerade ist.
Da gehört also auch noch eine Fallunterscheidung hin!
Wenn m+n ungerade ist, dann ist für [mm] n-m\equiv 3\mod{4} [/mm] T gerade und für [mm] n-m\equiv 1\mod{4} [/mm] T ungerade.
Damit ist übrigens mein ganzer Lösungsweg nicht mehr richtig.
Du kommst um Fallunterscheidungen m.E. nicht herum.
Alles folgende behandelt daher nur einen Teil der möglichen Lösungen.
> Und woher wissen wir ,dass "für T=210 m,n beide ungerade
> oder beide gerade sind..."?
>
> "In der "Mitte" der Summanden steht eine gerade Zahl;
> nennen wir sie einfach 2k. Davor und danach stehen je a
> Summanden, so dass m=2k-a und n=2k+a."
>
> Also wäre in meinem Beispiel m=nk-a also m= 35-1=34
> und n=2k+a also n=35+1=16
Da sind zwei wesentliche Tippfehler drin. In Deinem Beispiel 34+35+36=105 (das wie gesagt sowieso nicht passt, weil 105 ungerade ist), ist m=2k-a=35-1 und n=2k+a=35+1, allerdings meinte ich ein [mm] k\in\IN, [/mm] und das passt hier ja nicht.
> "Ab hier ist der Weg einfach und nicht mehr weit. Es gilt
> 210=2*3*5*7. Da sind ja nicht viele Kombinationen 2k(2a+1)
> zu betrachten."
>
> In meinem Beispiel also: 2k(2a+1) also 35(2+1)= 35*3=105
> (stimmt!!)
>
> Aber jetzt habe ich gemerkt, dass ich für 2k keine gerade
> zahl eingesetzt habe!!
So ist es.
> dann müsste ich also zb die 36
> nehmen und dann wären 2k-1 =35 und 2k+1 =37 ? Aber was
> bringt mir das dann? und wenn ich dann 2k(2a+1) also 36*3
> rechne kommt nicht 105 raus...
Wie gesagt, 105 ist kein passendes Beispiel. Wir suchen doch hier nach der Treppenzahl 210, und ich habe hier vor allem nach gerade und ungerade unterschieden - auf der Grundlage, dass die gesuchte Treppenzahl gerade ist!
> ach ich bin gerade total verwirrt... und ich weiß auch gar
> nicht wie ich das mit m und n auf die eigentliche aufgabe
> mit der 210 anwenden soll, da ich ja überhaupt nicht weiß
> wie ich das in die einzelnen summanden zerlegen kann:-(
Na, das ist doch gerade die zu lösende Aufgabe.
> was
> wäre denn zb das 2k in der Aufgabe mit der 210?
> Könnten sie mir den lösungsweg vielleicht einmal
> vorrechnen? und irgendwie einfacher erklären? (ich hatte
> zb noch kein rechnen mit modula)
Früher nahm man manchmal den lateinischen Plural "moduli", aber nur sehr selten. Häufiger ist der deutsche Plural "Moduln", mit Betonung auf dem langen u der zweiten Silbe.
Hier musst Du eigentlich nichts darüber wissen, außer dass damit der Rest gemeint ist, der bei Teilung durch den Modul bleibt. Außerdem kommt auch nur der Modul 4 vor.
[mm] x\equiv 2\mod{4} [/mm] heißt nur, dass x bei Teilung durch 4 den Rest 2 lässt. x ist also gerade, aber nicht durch 4 teilbar.
Aber fangen wir doch noch einmal hier an:
> "Ab hier ist der Weg einfach und nicht mehr weit. Es gilt
> 210=2*3*5*7. Da sind ja nicht viele Kombinationen 2k(2a+1)
> zu betrachten."
Das ist, wie gesagt, doch nur einer von zwei zu untersuchenden Fällen.
Wenn ich nun 210 als Produkt in der Form 2k(2a+1) darstellen will - also als Produkt eines geraden und eines ungeraden Faktors - dann gibt es nur folgende Möglichkeiten:
[mm] $210=2*105\Rightarrow [/mm] k=1, a=52$
[mm] $210=6*35\Rightarrow [/mm] k=3, a=17$
[mm] $210=10*21\Rightarrow [/mm] k=5, a=10$
[mm] $210=14*15\Rightarrow [/mm] k=7, a=7$
[mm] $210=30*7\Rightarrow [/mm] k=15, a=3$
[mm] $210=42*5\Rightarrow [/mm] k=21, a=2$
[mm] $210=70*3\Rightarrow [/mm] k=35, a=1$
[mm] $210=210*1\Rightarrow [/mm] k=105, a=0$
Nun war ja noch eine Bedingung, dass 0<a<2k sein muss (und zwar echt kleiner). Das gilt aber für die ersten drei Lösungen und für die letzte nicht. Die dritte lohnt sich allerdings noch einmal extra zu betrachten, siehe unten.
Damit wissen wir erst einmal, dass folgende vier Lösungen für den untersuchten Fall existieren:
210=7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20+21 (der Fall k=7,a=7)
210=27+28+29+30+31+32+33 (der Fall k=15,a=3)
210=40+41+42+43+44 (der Fall k=21,a=2)
210=69+70+71 (der Fall k=35,a=1)
Der dritte Fall von oben, k=5,a=10, zeigt aber, dass es noch mehr Lösungen gibt. Für die bräuchte man eben die Untersuchung des Falls m+n ungerade und [mm] n-m\equiv 3\mod{4}.
[/mm]
Denn hier folgt aus der "verbotenen" Lösung k=5,a=10 ja:
210=0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20
Streichen wir mal die Null als ersten Summanden, und prompt haben wir eine weitere Lösung, auch wenn sie nicht zum untersuchten Fall gehört.
So, jetzt Du.
Grüße
reverend
|
|
|
|
