Triagonarkeit von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien K ein Körper und n [mm] \ge [/mm] 1 eine ganze Zahl
1. Seien A, B [mm] \in M_{n}(K). [/mm] Zeigen Sie:
Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B),
Tr(AB)= Tr(BA)
2. Sei A [mm] \in GL_{n}. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] (-X)^n x_{A} \vektor{1 \\ X}= [/mm] det(A) [mm] x_{A-1}(X)
[/mm]
Die x mit den A unten dran sollen das geschweifte x für ein Polynom sein. |
So.....Diese Aufgabe, wie so viele andere Aufgaben auch, bereitet mir Kopfschmerzen. Ich habe absolut überhaupt gar keine Ahnung....Zumindest bin ich aber jetzt schonmal so weit, dass ich Lösungswege gut nachvollziehen kann...wenigstens etwas. DANKE!
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> Seien K ein Körper und n [mm]\ge[/mm] 1 eine ganze Zahl
> 1. Seien A, B [mm]\in M_{n}(K).[/mm] Zeigen Sie:
> Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B),
> Tr(AB)= Tr(BA)
>
> 2. Sei A [mm]\in GL_{n}.[/mm] Zeigen Sie:
> [mm](-X)^n x_{A} \vektor{1 \\ X}=[/mm] det(A) [mm]x_{A-1}(X)[/mm]
> Die x mit den A unten dran sollen das geschweifte x für
> ein Polynom sein.
Hallo,
Zu 1.:
wie ist Tr(A) definiert?
Edit: Tr(A) soll wohl die Spur von A sein, Trace...
Was ist die Spur, wie wird die berechnet?
Wie addiert man Matrizen?
Für die zweite Aussage muß man wissen, wie Matrizen multipliziert werden, und dann die Spuren der multiplizierten Matrizen berechnen.
Zu 2.:
Hier verstehe ich
$ [mm] (-X)^n x_{A} \vektor{1 \\ X}= [/mm] $ det(A) $ [mm] x_{A-1}(X) [/mm] $
nicht. Rechts hat man ein Polynom in X, aber links???
Was soll [mm] x_{A} \vektor{1 \\ X} [/mm] sein?
Wie soll ich das charakteristische Polynom von A auf einen Vektor anwenden?
Steht das wirklich so da?
Gruß v. Angela
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Die Spur berechnet man, indem man die Elemente auf der hauptdiagonalen addiert, nachdem man die Matrix auf untere Dreiecksform gebracht hat.
in der aufgabe steht in Klammern eine 1 über einem x. Was das heißen soll, weiß ich auch leider nicht. Das ist ja mein Problem, dass ich die Aufgaben meistens nicht verstehe.
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> Die Spur berechnet man, indem man die Elemente auf der
> hauptdiagonalen addiert, nachdem man die Matrix auf untere
> Dreiecksform gebracht hat.
Die Spur ist die Summe der Hauptdiagonalelemente - auch bevor die Matrix auf obere Dreiecksform gebracht ist und auch für Matrizen, die man nicht auf obere Dreiecksform bringen kann.
Gruß v. Angela
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