Trigamma-Funktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Do 19.04.2012 | | Autor: | lyx |
Hallo an alle,
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt. Nachdem Ihr mir bei meiner letzten Frage so gut geholfen habt, habe ich eine weitere Frage zu meine Problem:
Ich habe eine Summe aus Trigammafunktionen [mm] \psi_1:
[/mm]
[mm] \frac{I}{4d^2h}\left[ \psi_1 \left( \frac{1}{2}+\frac{n}{2}-\frac{h}{d}I \right) - \psi_1 \left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2}+\frac{h}{d}I \right) - \psi_1 \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}-\frac{h}{d}I\right) +\psi_1 \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}+\frac{h}{d}I\right) \right] [/mm] (*)
Dabei bezeichnet I die komplexe Einheit,
h und d sind Parameter mit h,d [mm] \in \IR_+ [/mm] , und n [mm] \in \IN.
[/mm]
Nach den dahinterliegenden physikalischen Überlegungen müsste (*) identisch 0 sein. Ich versuche also zu zeigen, dass auch mathematisch gilt
(*) [mm] \equiv [/mm] 0
bisher habe ich versucht die Integraldarstellung der Trigammafunktion
[mm] \psi_1(z) [/mm] = - [mm] \int_0^1 \frac{x^{z-1} \ln x}{1-x}dx
[/mm]
in (*) einzusetzen. Dies führt mich aber nicht zu den gewünschten Ergebnis.
Kann mir jemand von euch einen Tipp geben wie ich zu den gewünschten Ergebnis komme? Ist (*) [mm] \equiv [/mm] 0 überhaupt zu zeigen?
Gibt es ein gutes Skript oder Formelsammlung wo Sätze über die Di-und Trigamma oder allgemein Polygamma Funktion aufgelistet sind? Es sollte aber über das was in Wikipedia steht hinaus gehen.
Danke für eure Hilfe
Viele Grüße
Lyx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:31 Do 19.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo lyx!
> Hallo an alle,
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> Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
> Nachdem Ihr mir bei meiner letzten Frage so gut geholfen
> habt, habe ich eine weitere Frage zu meine Problem:
>
> Ich habe eine Summe aus Trigammafunktionen [mm]\psi_1:[/mm]
>
> [mm]\frac{I}{4d^2h}\left[ \psi_1 \left( \frac{1}{2}+\frac{n}{2}-\frac{h}{d}I \right) - \psi_1 \left(\frac{1}{2}+\frac{n}{2}+\frac{h}{d}I \right) - \psi_1 \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}-\frac{h}{d}I\right) +\psi_1 \left(\frac{1}{2}-\frac{n}{2}+\frac{h}{d}I\right) \right][/mm]
> (*)
>
> Dabei bezeichnet I die komplexe Einheit,
> h und d sind Parameter mit h,d [mm]\in \IR_+[/mm] , und n [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Nach den dahinterliegenden physikalischen Überlegungen
> müsste (*) identisch 0 sein. Ich versuche also zu zeigen,
> dass auch mathematisch gilt
>
> (*) [mm]\equiv[/mm] 0
>
> bisher habe ich versucht die Integraldarstellung der
> Trigammafunktion
>
> [mm]\psi_1(z)[/mm] = - [mm]\int_0^1 \frac{x^{z-1} \ln x}{1-x}dx[/mm]
>
> in (*) einzusetzen. Dies führt mich aber nicht zu den
> gewünschten Ergebnis.
>
> Kann mir jemand von euch einen Tipp geben wie ich zu den
> gewünschten Ergebnis komme? Ist (*) [mm]\equiv[/mm] 0 überhaupt zu
> zeigen?
>
> Gibt es ein gutes Skript oder Formelsammlung wo Sätze
> über die Di-und Trigamma oder allgemein Polygamma Funktion
> aufgelistet sind? Es sollte aber über das was in Wikipedia
> steht hinaus gehen.
![[]](/images/popup.gif) Digital Library of Mathematical Function, Kap. 5.
Die Reflexionsformel steht aber schon in der Wikipedia, damit kannst du den 1. und 4. sowie den 2. und 3. Term zusammenfassen. Dann bleibt die Differenz zweier zueinander konjugiert komplexer Terme übrig, also ist das Ergebnis auf jeden Fall rein imaginär. Das siehst du auch, indem du für die Sinusfunktionen im Nenner die Additionstheoreme anwendest und [mm] $\cos(ix) =\cosh [/mm] x$ benutzt.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Fr 20.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Lyx!
Es gibt noch ein einfacheres Argument: als meropmorphe Funktion hat die Trigammafunktion in ganz [mm] $\IC$ [/mm] außer an ihren Polstellen die Eigenschaft [mm] $\psi_1(\overline{z})=\overline{\psi_1(z)}$. [/mm] Daher sind jeweils die beiden ersten und die beiden letzten Terme deiner Summe konjugiert komplex zueinander, und die ganze Summe hat den Realteil 0.
Aus den Cauchy-Riemann-DGLen folgt, dass der Imaginärteil konstant sein muss. Die Konstante kannst du durch Einsetzen irgendwelcher Werte für deine Konstanten bestimmen, z.B. $h=n=0$.
Viele Grüße
Rainer
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