Trigometrisches Differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 So 10.01.2010 | | Autor: | Mattrim |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Ich muss die Ableitung des area sinus hyperbolicus mithilfe des sinus hyperbolicus und einer Differentiationsregel bestimmen und bräuchte dringend Hilfe.
sinh(x)=1/2(exp(x)-exp(-x))
[mm] arsinh(x)=ln(x+\wurzel[2]{x^2+1})
[/mm]
und die Regel besagt: (f^-1)'(y)=1/(f'(x))
In Worten: Die Ableitung der Umkehrfunktion (an der stelle y) is gleich eins geteilt durch die Ableitung der ursprünglichen Funktion an der Stelle x
Vielen Dank für eure Zeit, bitte um ausführliche Antwort, da ich extrem müde bin :(
|
|
| |
|
Hallo Robin,
> Ich muss die Ableitung des area sinus hyperbolicus mithilfe
> des sinus hyperbolicus und einer Differentiationsregel
> bestimmen und bräuchte dringend Hilfe.
>
> sinh(x)=1/2(exp(x)-exp(-x))
> [mm]arsinh(x)=ln(x+\wurzel[2]{x^2+1})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> und die Regel besagt: (f^-1)'(y)=1/(f'(x))
> In Worten: Die Ableitung der Umkehrfunktion (an der stelle
> y) is gleich eins geteilt durch die Ableitung der
> ursprünglichen Funktion an der Stelle x
>
> Vielen Dank für eure Zeit, bitte um ausführliche Antwort,
> da ich extrem müde bin :(
?
Du bist doch nun schon eine Weile hier, du solltest wissen, dass auch eigene Ansätze gefordert sind!
Beim nächsten Mal bitte beherzigen!
Deine Differentiationsregel kann man auch so ausdrücken:
$f^{-1}'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$.
In unserem Fall ist $f(x) = sinh(x)$, und wir wissen, dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = arsinh(x)$.
Nun kannst du also die rechte Seite ausrechnen:
$\frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{cosh(x)}$
Also ist:
$f^{-1}'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{cosh(x)}$.
Wenn du nun die rechte Seite wieder mit Hilfe von $f(x) = sinh(x)$ ausdrücken kannst, hast du schon gewonnen:
$f^{-1}'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{cosh(x)} = \frac{1}{\sqrt{1+sinh^{2}(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1+(f(x))^{2}}$
-->
$f^{-1}'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}$
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
