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| Aufgabe | Hallo ich habe hier ein paar Formeln zur Geometrie aus dem Buch: Taschenbuch Mathematischer Formeln von Bartsch Fachbuchverlag Leipzig.
Ich habe ich dort auf S146 der 20 Aufl. etwas über Winkelbeziehungen im Dreieck gefunden und suche nun die Herleitung dieser Formeln.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] sin 2\alpha+sin2 \beta+sin2 \gamma=2x(sin \alpha x sin \beta x sin \gamma)[/mm]
kann mir da jemand weiterhelfen? Ich suche Literatur in der diese Beziehungen hergeleitet werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:08 Di 03.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo an-pleines
Ich weiss zwar keine Literatur, kann dir diese Formel aber gerne herleiten:
[mm] $\sin(2\alpha)+\sin(2\beta)+\sin(2\gamma)= 2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)+\sin(2\gamma)$
[/mm]
Hier benutze ich das Additionstheorem [mm] $\sin(x)+\sin(y)=2\sin(\frac{x+y}2)\cos(\frac{x-y}2)$ [/mm] für [mm] $x=2\alpha$ [/mm] und [mm] $y=2\beta$.
[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 2\sin(\pi-\gamma)\cos(\alpha-\beta)+\sin(2\gamma)$
[/mm]
Hier benutze ich die Winkelsumme im Dreieck [mm] $\alpha+\beta+\gamma=\pi$.
[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 2\sin(\gamma)\cos(\alpha-\beta)+2\sin(\gamma)\cos(\gamma)$
[/mm]
Hier benutze ich, dass [mm] $\sin(\pi-x)=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.
[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 2\sin(\gamma)\Bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\gamma)\Bigr)$
[/mm]
Hier klammere ich [mm] $2\sin(\gamma)$ [/mm] aus.
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 4\sin(\gamma)\cos(\frac{\alpha-\beta+\gamma}2) \cos(\frac{\alpha-\beta-\gamma}2)$
[/mm]
Hier benutze ich das Additionstheorem [mm] $\cos(x)+\cos(y)=2\cos(\frac{x+y}2)\cos(\frac{x-y}2)$ [/mm] für [mm] $x=\alpha-\beta$ [/mm] und [mm] $y=\gamma$.
[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 4\sin(\gamma)\cos(\frac{\pi-2\beta}2)\cos(\frac{2\alpha-\pi}2)$
[/mm]
Hier benutze ich wieder die Winkelsumms [mm] $\alpha+\beta+\gamma=\pi$
[/mm]
[mm] $\dots [/mm] = [mm] 4\sin(\gamma)\sin(\beta)\sin(\alpha)$
[/mm]
Hier benutze ich [mm] $\sin(x)=\cos(\frac{\pi}2-x)=\cos(x-\frac{\pi}2)$
[/mm]
mfG Moudi
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