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| Aufgabe | Welche Seitenverhältnisse hat ein Dreieck, bei welchem der
Schwerpunkt exakt in der Mitte zwischen Umkreismittelpunkt
und Inkreismittelpunkt liegt ? |
Bei dieser Aufgabe kann man alle Register der elementaren
Trigonometrie (und ev. etwas Vektorgeometrie) ziehen.
Wenn man das Ganze geschickt anstellt, kommt man
auf eine trigonometrische Gleichung, die man elementar
lösen kann.
Wer am Ende ein ganz konkretes Dreieck haben möchte,
kann noch dies versuchen:
Bestimme die Eckpunkte des Dreiecks mit U(0|0) , S(1|0) , I(2|0)
Viel Spass !
Al-Chwarizmi
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 Do 09.06.2011 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
diese "Frage" soll nur bewirken, dass die Aufgabe sichtbar
bleibt. Deshalb bitte hier keine Antwort anfügen ...
LG Al
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Eine Verallgemeinerung der Aufgabe:
Der Schwerpunkt [mm]S[/mm] liegt genau dann auf der Geraden durch den Umkreismittelpunkt [mm]U[/mm] und Inkreismittelpunkt [mm]I[/mm], wenn das Dreieck gleichschenklig ist.
Teilt [mm]S[/mm] die Strecke [mm]UI[/mm] im Verhältnis [mm]\tau[/mm], so hat das Verhältnis von Schenkel zu Basis den Wert [mm]\frac{1 + \tau}{2 \tau - 1}[/mm].
1. Der Fall [mm]\tau = 1[/mm] ist der Fall, wo [mm]S[/mm] in der Mitte zwischen [mm]U[/mm] und [mm]I[/mm] liegt.
2. Den Fall des gleichseitigen Dreiecks erhält man für [mm]\tau = 2[/mm] (strenggenommen als Grenzübergang [mm]\tau \to 2[/mm] ).
3. Für [mm]\tau = \frac{1}{2} \left( 3 \sqrt{2} + 4 \right)[/mm] erhält man das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck.
EDIT
Ich habe erst nicht registriert, daß ich hier nicht hätte antworten sollen, und deshalb jetzt diese Antwort in eine Mitteilung umgewandelt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Sa 11.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
eine schöne Aufgabe. Da hat man ja richtig zu tun, und am Ende ist die Lösung auf einmal doch schön glatt.
Das Dreieck ist ein gleichschenkliges, der "einzelne" Winkel beträgt genau [mm] 2*\arcsin{\left(\bruch{1}{4}\right)}\approx 28^{\circ}57'18''.
[/mm]
Zwei Anmerkungen:
1) Natürlich ist die geforderte Bedingung auch im gleichseitigen Dreieck erfüllt; das ist auch die zweite Lösung der quadratischen Gleichung, die am Ende des Weges steht.
Nur Dein Beispiel ist dann nicht mehr darzustellen. 
2) Ich kann die Punktreihe noch zu beiden Seiten erweitern. Der Höhenschnittpunkt und der Nagelsche Punkt verlängern die äquidistante Aufreihung. Nagelscher Punkt, Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt, Inkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt liegen auf einer Geraden und haben (in dieser Reihenfolge) alle den gleichen Abstand voneinander!
Ach, ich vergaß, das Seitenverhältnis anzugeben. 2:2:1.
So einfach kann das Leben sein...
Grüße
reverend
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> Hallo Al,
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> eine schöne Aufgabe. Da hat man ja richtig zu tun, und am
> Ende ist die Lösung auf einmal doch schön glatt.
Genau dafür, damit man diese "Glattheit" , "Glätte", ![[]](/images/popup.gif) concinnity
auch erkennt, fragte ich auch nach den Seitenverhältnissen
und nicht nur nach den Winkeln.
> Das Dreieck ist ein gleichschenkliges, der "einzelne"
> Winkel beträgt genau
> [mm]2*\arcsin{\left(\bruch{1}{4}\right)}\approx 28^{\circ}57'18''.[/mm]
>
> Zwei Anmerkungen:
> 1) Natürlich ist die geforderte Bedingung auch im
> gleichseitigen Dreieck erfüllt; das ist auch die zweite
> Lösung der quadratischen Gleichung, die am Ende des Weges
> steht.
Auch das war mir klar; wichtig ist aber, dass diese "triviale"
Lösung mit Seitenverhältnis 1:1:1 nicht die einzige ist.
> Nur Dein Beispiel ist dann nicht mehr darzustellen.
Ein Zweck des Beispiels war genau der, auf die Existenz
der nicht trivialen Lösung hinzudeuten ...
> 2) Ich kann die Punktreihe noch zu beiden Seiten erweitern.
> Der Höhenschnittpunkt und der Nagelsche Punkt verlängern
> die äquidistante Aufreihung. Nagelscher Punkt,
> Umkreismittelpunkt, Schwerpunkt, Inkreismittelpunkt und
> Höhenschnittpunkt liegen auf einer Geraden und haben (in
> dieser Reihenfolge) alle den gleichen Abstand voneinander!
An den Höhenschnittpunkt (und die Eulersche Gerade) dachte
ich natürlich auch, aber ohne ihn zu erwähnen, weil er für
die vorliegende Aufgabe keine Rolle spielt.
Nagelpunkt und Nagelgerade sind mir neu - da gibt's also
noch etwas zu nageln und zu hämmern ...
> Ach, ich vergaß, das Seitenverhältnis anzugeben. 2:2:1.
> So einfach kann das Leben sein...
>
> Grüße
> reverend
LG Al
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