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| Aufgabe | A1.) Es sei definiert: [mm] $\sinh(x) [/mm] := [mm] (e^z-e^{-z})/2$ [/mm] für $z [mm] \in \IC$. [/mm] Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
a) [mm] $\limes\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos(x/2)}{1-cos(x)}$
[/mm]
b) [mm] $\limes\limits_{x \to 0} \frac{\sinh(x)-\sin(x)}{x(1-\cos(x))}$
[/mm]
A2) Ein Raumschiff fliegt in [mm] $\IR^2 [/mm] = [mm] \IC$ [/mm] mit konstanter Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse. P1 benutzt die kanonischen Einheitsvektoren [mm] $e_1 [/mm] = (1,0)=1$ und [mm] $e_2 [/mm] = (0,1) = i$ als Koordinatensystem, so ist in diesem der Ort des Raumschiffs zur Zeit $t$ gegeben durch: $r(t)=(t,0)=t$. P2 benutzt ein sich um 0 drehendes Koord'system und welches durch [mm] $\hat{e_1}=(\cos(t), \sin(t)) [/mm] = [mm] \cos(t) [/mm] + i [mm] \sin(t)$ $\hat{e_2} [/mm] = [mm] (-\sin(t),\cos(t)) [/mm] = [mm] -\sin(t)+i\cos(t)$ [/mm] gegeben ist. Wie lauten die (reellen) Koeffizienten $a(t),b(t)$ der Darstellung [mm] $r(t)=a(t)\hat{e_1} [/mm] + [mm] b(t)\hat{e_2}$? [/mm] |
Hallo zusammen,
habe große Schwierigkeiten bei den obigen Aufgaben. Beispielsweise wurde mir bei A1 empfohlen die Reihenentwicklung zu betrachten, so weiß ich dass [mm] $\cos(z) [/mm] = [mm] \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{z^{2n}}{(2n)!}$ [/mm] und der [mm] $\sin$ [/mm] sich nur durch 2n+1 statt 2n unterscheidet. Dieser Hinweis hilft mir aber nicht besonders, da ich den Term nicht offensichtlich vereinfachen kann.
Bei der zweiten Aufgabe muss ich doch den Vektor $(t,0)$ mit der zweiten Basis darstellen oder? Ich habe aber scheinbar einen Brett vor dem Kopf und sehe nicht wie man es am einfachsten anstellt.
Wäre es möglich, dass ihr mit Lösungsansätzen helfen könnt, denn ich weiß nicht welchen Ansatz ich wählen sollte.
Grüße
Joe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:46 Di 14.01.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> A1.) Es sei definiert: [mm]\sinh(x) := (e^z-e^{-z})/2[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm].
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
> a) [mm]\limes\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos(x/2)}{1-cos(x)}[/mm]
>
> b) [mm]\limes\limits_{x \to 0} \frac{\sinh(x)-\sin(x)}{x(1-\cos(x))}[/mm]
>
> Hallo
> zusammen,
>
> habe große Schwierigkeiten bei den obigen Aufgaben.
> Beispielsweise wurde mir bei A1 empfohlen die
> Reihenentwicklung zu betrachten, so weiß ich dass [mm]\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> und der [mm]\sin[/mm] sich nur durch 2n+1 statt 2n unterscheidet.
> Dieser Hinweis hilft mir aber nicht besonders, da ich den
> Term nicht offensichtlich vereinfachen kann.
>
Aus dem Hinweis werde ich auch nicht schlau.
Benutze bei a) zwei mal L'Hospital. Das Ergebnis ist [mm] \frac{1}{4}.
[/mm]
Benutze bei b) drei mal L'Hospital. Das Ergebnis ist [mm] \frac{2}{3}
[/mm]
>
> Wäre es möglich, dass ihr mit Lösungsansätzen helfen
> könnt, denn ich weiß nicht welchen Ansatz ich wählen
> sollte.
>
> Grüße
> Joe
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Di 14.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> A1.) Es sei definiert: [mm]\sinh(x) := (e^z-e^{-z})/2[/mm] für [mm]z \in \IC[/mm].
> Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
> a) [mm]\limes\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos(x/2)}{1-cos(x)}[/mm]
>
> b) [mm]\limes\limits_{x \to 0} \frac{\sinh(x)-\sin(x)}{x(1-\cos(x))}[/mm]
>
> A2) Ein Raumschiff fliegt in [mm]\IR^2 = \IC[/mm] mit konstanter
> Geschwindigkeit in Richtung der x-Achse. P1 benutzt die
> kanonischen Einheitsvektoren [mm]e_1 = (1,0)=1[/mm] und [mm]e_2 = (0,1) = i[/mm]
> als Koordinatensystem, so ist in diesem der Ort des
> Raumschiffs zur Zeit [mm]t[/mm] gegeben durch: [mm]r(t)=(t,0)=t[/mm]. P2
> benutzt ein sich um 0 drehendes Koord'system und welches
> durch [mm]\hat{e_1}=(\cos(t), \sin(t)) = \cos(t) + i \sin(t)[/mm]
> [mm]\hat{e_2} = (-\sin(t),\cos(t)) = -\sin(t)+i\cos(t)[/mm] gegeben
> ist. Wie lauten die (reellen) Koeffizienten [mm]a(t),b(t)[/mm] der
> Darstellung [mm]r(t)=a(t)\hat{e_1} + b(t)\hat{e_2}[/mm]?
> Hallo
> zusammen,
>
> habe große Schwierigkeiten bei den obigen Aufgaben.
> Beispielsweise wurde mir bei A1 empfohlen die
> Reihenentwicklung zu betrachten, so weiß ich dass [mm]\cos(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> und der [mm]\sin[/mm] sich nur durch 2n+1 statt 2n unterscheidet.
> Dieser Hinweis hilft mir aber nicht besonders, da ich den
> Term nicht offensichtlich vereinfachen kann.
Doch das kannst Du. Mit den Reihenentwicklungen von [mm] \sin, \cos [/mm] und [mm] \sinh [/mm] lassen sich die Grenzwerte wunderbar berechnen !
FRED
>
> Bei der zweiten Aufgabe muss ich doch den Vektor [mm](t,0)[/mm] mit
> der zweiten Basis darstellen oder? Ich habe aber scheinbar
> einen Brett vor dem Kopf und sehe nicht wie man es am
> einfachsten anstellt.
>
> Wäre es möglich, dass ihr mit Lösungsansätzen helfen
> könnt, denn ich weiß nicht welchen Ansatz ich wählen
> sollte.
>
> Grüße
> Joe
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