Trigonometrische Fkt in C < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Di 01.01.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Zeige für alle [mm] z,w\in\IC:
[/mm]
(a) cos(z+w)=cos(z)cos(w)-sin(z)sin(w);
sin(z+w)=cos(z)sin(w)+sin(z)cos(w)
(Tip:cos(u)+i*sin(u)=exp(i*u); betrachte: u=z+w und u=-(z+w).)
(b) [mm] cos^2(z)+sin^2(z)=1, [/mm]
[mm] cos(2z)=2cos^2(z)-1, [/mm]
[mm] cos^2(\bruch{z}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1+cos(z)}{2}; [/mm]
[mm] sin^2(\bruch{z}{2})=\bruch{1-cos(z)}{2}
[/mm]
[mm] (c)cos(z)+cos(w)=2cos(\bruch{z+w}{2})*cos(\bruch{z-w}{2})
[/mm]
sin(z)+sin(w)= [mm] 2sin(\bruch{z+w}{2})*cos(\bruch{z-w}{2})
[/mm]
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Kann/Muss ich das alles mit dem Tip aus Aufgabenteil (a) berechnen und wenn ja, wie? Gibts sonst irgendwelche Gesetze, die für Elemente aus [mm] \IC [/mm] gelten, die ich anwenden kann und muss ich den Tip erst noch beweisen oder gilt das so und ich kann es verwenden?
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 01.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeige für alle [mm]z,w\in\IC:[/mm]
> (a) cos(z+w)=cos(z)cos(w)-sin(z)sin(w);
> sin(z+w)=cos(z)sin(w)+sin(z)cos(w)
> (Tip:cos(u)+i*sin(u)=exp(i*u); betrachte: u=z+w und
> u=-(z+w).)
> (b) [mm]cos^2(z)+sin^2(z)=1,[/mm]
> [mm]cos(2z)=2cos^2(z)-1,[/mm]
> [mm]cos^2(\bruch{z}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1+cos(z)}{2};[/mm]
> [mm]sin^2(\bruch{z}{2})=\bruch{1-cos(z)}{2}[/mm]
> [mm](c)cos(z)+cos(w)=2cos(\bruch{z+w}{2})*cos(\bruch{z-w}{2})[/mm]
> sin(z)+sin(w)=
> [mm]2sin(\bruch{z+w}{2})*cos(\bruch{z-w}{2})[/mm]
>
> Kann/Muss ich das alles mit dem Tip aus Aufgabenteil (a)
> berechnen und wenn ja, wie? Gibts sonst irgendwelche
> Gesetze, die für Elemente aus [mm]\IC[/mm] gelten, die ich anwenden
> kann und muss ich den Tip erst noch beweisen oder gilt das
> so und ich kann es verwenden?
Es gibt nur eine Gleichung für die Exponentialfunktion: [mm]e^{a+b}=e^a*e^b[/mm]. Daraus kannst du alle anderen Aussagen herleiten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Do 03.01.2008 | | Autor: | side |
Hab mir jetzt ein paar Gedanken gemacht und bin zu Folgender Umformung gekommen. Leider ist es sehr viel zu tippen, aber ich hoffe es stimmt alles....am Ende fehlt mir vermutlich nur ein kleiner tip, um auf die Richtige Gleichung zu kommen:
[mm] cos(z+w)=\bruch{1}{2}(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)})
[/mm]
Nun gilt ja: [mm] e^{iu}=cos(u)+isin(u) [/mm] für [mm] u\in\IC
[/mm]
[mm] \rightarrow...=\bruch{1}{2}(cos(z+w)+isin(z+w)+cos(-(z+w))+isin(-(z+w)))
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)})+\bruch{i}{2i}(e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)})+\bruch{1}{2}(e^{-i(z+w)}+e^{i(z+w)})+\bruch{i}{2i}(e^{-i(z+w)}-e^{i(z+w)})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4} (e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}-e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw})
[/mm]
Nun hab ich eine kleine Umformung vorgenommen, von der ich zwar denke dass sie richtig ist, aber nicht weis ob ich das überhaupt machen muss:
Es gilt: [mm] e^{iz}e^{iw}=2e^{iz}e^{-iz}e^{iw}
[/mm]
und: [mm] e^{-iz}e^{-iw}=\bruch{1}{2e^{iz}}e^{iz}e^{-iw}
[/mm]
[mm] \rightarrow ...=\bruch{1}{4}(e^{iz}e^{iw}+\bruch{1}{2e^{iz}}e^{iz}e^{-iw}+2e^{iz}e^{-iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw})+\bruch{1}{4}(e^{iz}e^{iw}-\bruch{1}{2e^{iz}}e^{iz}e^{-iw}-2e^{iz}e^{-iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw})
[/mm]
Am Ende will ich ja erreichen:
[mm] \bruch{1}{4}(e^{iz}+e^{-iz})(e^{iw}+e^{-iw}+\bruch{1}{4}(e^{iz}-e^{-iz})(e^{iw}-e^{-iw} [/mm] (Das ist leicht erkennbar die Umformung der linken Seite der zu beweisenden Gleichung). Wie komm ich jetzt von meinem letzen Schritt auf diesen Term?
Kann mir jemand den kleinen Tip geben, es stören ja nur noch der Bruch und der andere Faktor mit der 2 drin.Wie bekomm ich die Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hab mir jetzt ein paar Gedanken gemacht und bin zu
> Folgender Umformung gekommen. Leider ist es sehr viel zu
> tippen, aber ich hoffe es stimmt alles....am Ende fehlt mir
> vermutlich nur ein kleiner tip, um auf die Richtige
> Gleichung zu kommen:
> [mm]cos(z+w)=\bruch{1}{2}(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)})[/mm]
> Nun gilt ja: [mm]e^{iu}=cos(u)+isin(u)[/mm] für [mm]u\in\IC[/mm]
>
> [mm]\rightarrow...=\bruch{1}{2}(cos(z+w)+isin(z+w)+cos(-(z+w))+isin(-(z+w)))[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2}(e^{i(z+w)}+e^{-i(z+w)})+\bruch{i}{2i}(e^{i(z+w)}-e^{-i(z+w)})+\bruch{1}{2}(e^{-i(z+w)}+e^{i(z+w)})+\bruch{i}{2i}(e^{-i(z+w)}-e^{i(z+w)})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{4} (e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}-e^{iz}e^{iw}+e^{-iz}e^{-iw}+e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw}-e^{-iz}e^{-iw}+e^{iz}e^{iw})[/mm]
Das ist richtig, aber umständlich. Hier heben sich vier der acht Terme gleich weg, der verbleibenden vir lassen sich zu zweien zusammenfassen.
Es wäre einfacher, die erste Gleichung umzuformen:
[mm] \cos(z+w)=\bruch{1}{2}(\mathrm{e}^{i(z+w)}+\mathrm{e}^{-i(z+w)})
= \bruch{1}{2}\left( \mathrm{e}^{iz} \mathrm{e}^{iw} + \mathrm{e}^{-iz} \mathrm{e}^{-iw}\right)[/mm]
> Nun hab ich eine kleine Umformung vorgenommen, von der ich
> zwar denke dass sie richtig ist, aber nicht weis ob ich das
> überhaupt machen muss:
> Es gilt: [mm]e^{iz}e^{iw}=2e^{iz}e^{-iz}e^{iw}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die ist nur richtig, falls [mm]\mathrm{e}^{iz}=2[/mm].
Schreibe dir lieber die gewünschte rechte Seite um:
[mm]\cos z \cos w - \sin z \sin w = \bruch{1}{4} \left( (\mathrm{e}^{iz} + \mathrm{e}^{-iz})(\mathrm{e}^{iw} + \mathrm{e}^{-iw})-(\mathrm{e}^{iz} - \mathrm{e}^{-iz})(\mathrm{e}^{iw} - \mathrm{e}^{-iw})\right) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:11 So 06.01.2008 | | Autor: | SpoOny |
hi,
Aufgabe a) hab ich jetzt Beweiesen, aber wie folgere ich aus dem Additionstheorem die Formeln in Aufgabe b) oder muss ich dazu auch den Tip nutzen? Kann mir jemand nen Anfang geben ?
LG
SpoOny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Di 08.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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