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| Aufgabe | [mm]y = sin( \wurzel{3x} -5) [/mm]
[mm]y' =\bruch{3}{2*\wurzel{3x}} cos( \wurzel{3x} -5) [/mm]
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Hallo!
Ich kann einfach nicht nachvollziehen warum [mm] \bruch{3}{2*\wurzel{3x}}[/mm] die Ableitung von [mm]\wurzel{3x} -5[/mm] ist.
Könnte mir das bitte jemand erklären?
[mm]\wurzel{3x}[/mm] bedeutet doch [mm] (3x)^{0.5} [/mm] da müsste doch stehen :
[mm] \bruch{1}{2*\wurzel{3x}}[/mm] oder wird noch mit der Konstanten unter der Wurzel, in diesen Fall 3, multipliziert?
Durch ein anderes Beispiel bin ich noch mehr verwirrt:
f(x) = [mm]\wurzel[5]{4x^2}[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{2}{5} \wurzel[5]{4x^{-3}}[/mm]
Ich hätte vemutet da [mm]\wurzel[5]{4x^2}[/mm] = [mm] (4x^2)^{\bruch{1}{5}} [/mm] :
f'(x)= [mm] \bruch{2}{5*\wurzel[5]{4x^{3}}} [/mm]
Warum kann ich(falls im 1. Beisp. mit dem konst. Faktor 3 multipliziert wird), dies hier nicht ebenfalls mit 4 tun?
Probleme habe ich nur, wenn unter der Wurzel außer der Variable noch ein konst. Faktor steht. Bei längeren Ausdrücken unter der Wurzel kann man doch Kettenregel verwenden, aber hier...?
Vielen Dank im Voraus!
Gruß
Angelika
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Dann wollen wir mal :)
> [mm]y = sin( \wurzel{3x} -5)[/mm]
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> [mm]y' =\bruch{3}{2*\wurzel{3x}} cos( \wurzel{3x} -5)[/mm]
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> Hallo!
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> Ich kann einfach nicht nachvollziehen warum
> [mm]\bruch{3}{2*\wurzel{3x}}[/mm] die Ableitung von [mm]\wurzel{3x} -5[/mm]
> ist.
> Könnte mir das bitte jemand erklären?
>
> [mm]\wurzel{3x}[/mm] bedeutet doch [mm](3x)^{0.5}[/mm] da müsste doch
> stehen :
Soweit stimmt das ganze
>
> [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{3x}}[/mm] oder wird noch mit der
> Konstanten unter der Wurzel, in diesen Fall 3,
> multipliziert?
So ungefähr, denn du hast die Kettenregel vergessen. [mm] \wurzel{x} [/mm] wäre, wie du richtig sagst, [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}}, [/mm] aber da du hier 3x stehen hast, muss die innere Ableitung berücksichtigt werden!
So machst du es ja auch zuerst beim Sinus!
Der erste Schritt lautet:
[mm](sin(\wurzel{3x}-5})'=cos(\wurzel{3x}-5)[/mm]
Dies ist aber unvollständig, denn es fehlt die innere Ableitung der Klammer, also muss auch [mm] \wurzel{3x}-5 [/mm] abgeleitet werden. Und hier wendest du abermals die Kettenregel an, da auch dieser Term aus zwei Schritten besteht.
Der erste Schritt lautet:
[mm](\wurzel{3x}-5)'=\bruch{1}{2*\wurzel{3x}}[/mm]
Und nun fehlt die innere Ableitung, also (3x)'=3, daher kommt deine 3, so dass die gesamte Ableitung folgendermaßen aussieht:
[mm](sin(\wurzel{3x}-5})'=\bruch{3}{2*\wurzel{3x}}*cos(\wurzel{3x}-5)[/mm]
> Durch ein anderes Beispiel bin ich noch mehr verwirrt:
>
> f(x) = [mm]\wurzel[5]{4x^2}[/mm]
>
> f'(x)= [mm]\bruch{2}{5} \wurzel[5]{4x^{-3}}[/mm]
>
> Ich hätte vemutet da [mm]\wurzel[5]{4x^2}[/mm] =
> [mm](4x^2)^{\bruch{1}{5}}[/mm] :
Soweit auch richtig
>
> f'(x)= [mm]\bruch{2}{5*\wurzel[5]{4x^{3}}}[/mm]
>
> Warum kann ich(falls im 1. Beisp. mit dem konst. Faktor 3
> multipliziert wird), dies hier nicht ebenfalls mit 4 tun?
>
> Probleme habe ich nur, wenn unter der Wurzel außer der
> Variable noch ein konst. Faktor steht. Bei längeren
> Ausdrücken unter der Wurzel kann man doch Kettenregel
> verwenden, aber hier...?
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Gruß
>
> Angelika
Allerdings habe ich mit dem Beispiel auch meine Probleme, vielleicht hast du einen Abschreibfehler irgendwo gemacht??
ich rechne:
[mm]((4x^2)^{\bruch{1}{5}})'=\bruch{1}{5}*(4x^2)^{-\bruch{4}{5}}*8x(Kettenregel!)[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm]\bruch{1}{5*\wurzel[5]{(4x^2)^4}}*8x[/mm]
Daher habe ich wohl ein gänzlich anderes ergebnis und sogar noch ein 8x, was bei dir gar nicht auftaucht
Habe eben nachgerechnet, dass deine angegebene Lösung mit meiner übereinstimmt, wenn man Werte einsetzt. Bin aber gerade auf die schnelle nicht in der Lage, meine Lösung in die umzurechnen, die du als Lösung angegeben hast, aber der formale Weg sollte klar sein.
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| Aufgabe | f(x)=[mm] \wurzel[5]{sin(5x)} [/mm]
f'(x)=[mm] \bruch{5*cos(5x)}{4*\wurzel[4]{sin^3(5x)} [/mm]
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Hallo Adamantin!
Danke für deine ausführlichen Erklärungen! Jetz weiß ich das hier Kettenregel anzuwenden ist! Trotzdem bereitet mir noch eine andere Aufgabe Kopfzerbrechen, habe außerdem den Eindruck, in meinem Buch(Gellrich) sind die Lösungen extra "kompliziert" vereinfacht.
Kann diese obige Ableitung so stimmen?
Ich komme mit der Kettenregel auf:
f'(x)=[mm] \bruch{5*cos(5x)}{5*\wurzel[5]{sin^4(5x)} [/mm]
Danke für die Geduld!
Gruß
Angelika
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Hallo Angelika,
> f(x)=[mm] \wurzel[5]{sin(5x)} [/mm]
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> f'(x)=[mm] \bruch{5*cos(5x)}{4*\wurzel[4]{sin^3(5x)} [/mm]
>
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> Hallo Adamantin!
>
> Danke für deine ausführlichen Erklärungen! Jetz weiß ich
> das hier Kettenregel anzuwenden ist! Trotzdem bereitet mir
> noch eine andere Aufgabe Kopfzerbrechen, habe außerdem den
> Eindruck, in meinem Buch(Gellrich) sind die Lösungen extra
> "kompliziert" vereinfacht.
>
> Kann diese obige Ableitung so stimmen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Das sieht komisch aus
>
> Ich komme mit der Kettenregel auf:
>
> f'(x)=[mm] \bruch{5*cos(5x)}{5*\wurzel[5]{sin^4(5x)} [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") darauf komme ich auch !
Perfekt, kürze noch die 5en gegeneinander weg ..
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> Danke für die Geduld!
>
> Gruß
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> Angelika
>
>
LG
schachuzipus
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