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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichungen:
(i) sin(x) = 2sin(x [mm] +\bruch{\pi}{3}) [/mm] - [mm] \wurzel{3}cos(x) [/mm] und
(ii) [mm] cos^{4}x [/mm] + [mm] sin^{4}x [/mm] = [mm] \bruch{5}{8}. [/mm] |
Da es wichtig für mich ist, die beiden Aufgaben zu lösen, würde ich euch gerne um Hilfe bitten, bzw da ich sie gerne so allein wie möglich lösen würde um Tipps ;)
zu (ii) hab ich bereits folgendes:
Die linke Seite der Funktion habe ich umgeformt:
[mm] \bruch{3}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos2x + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] cos4x + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] cos4x + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] cos4x - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos2x + [mm] \bruch{3}{8} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] cos4x + [mm] \bruch{6}{8} [/mm] = [mm] \bruch{5}{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{4} [/mm] cos4x + [mm] \bruch{1}{8}= [/mm] 0
[mm] \bruch{1}{4} [/mm] cos4x = [mm] -\bruch{1}{8} [/mm] /*4
cos4x = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 4x = [mm] \bruch{n2 \pi}{3}
[/mm]
x = [mm] \bruch{n\bruch{2}{3} \pi}{4} [/mm] = [mm] \bruch{n \pi}{6}
[/mm]
Also komme ich auf diese Lösungsmenge:
[mm] \IL [/mm] = {x | x = [mm] \bruch{n \pi}{6}, [/mm] n [mm] \in \IZ [/mm] }
Ist das richtig so? Oder habe ich irgendwo was falsch vertstanden? Passiert mir nämlich sehr oft... :(
Bei der (i) muss ich ja auch so umformen, dass ich auf "irgendwas = 0" komme. Da hab ich nur das Problem, dass der linke Term immer riesig wird und ich wahrscheinlich nur die falschen Additionstheoreme zur "Vereinfachung" anwende.
Also hier das was ich habe:
sinx = 2sinx*cos [mm] \bruch{ \pi}{3} [/mm] + 2sin [mm] \bruch{\pi}{3}cosx [/mm] - [mm] \wurzel{3} [/mm] cosx
[mm] \gdw [/mm] 0 = sin(x - [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + sin(x + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + sin( [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] - x) + sin( [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] + x) - [mm] \wurzel{3} [/mm] cosx - sinx
[mm] \gdw [/mm] 0 = sin(x - [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + 2sin(x + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + sin( [mm] \bruch{\pi}{3} [/mm] - x) - [mm] \wurzel{3} [/mm] cosx - sinx
Kann ich das noch irgendwie weiter vereinfachen bzw muss ich das anders vereinfachen? Sitze total auf dem Schlauch.
Vielen Dank für die Mühe!
RapiTiger
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi!
Also bei (i) hast du die Lösung übersprungen:
> Bei der (i) muss ich ja auch so umformen, dass ich auf
> "irgendwas = 0" komme. Da hab ich nur das Problem, dass der
> linke Term immer riesig wird und ich wahrscheinlich nur die
> falschen Additionstheoreme zur "Vereinfachung" anwende.
> Also hier das was ich habe:
>
> sinx = 2sinx*cos [mm]\bruch{ \pi}{3}[/mm] + 2sin [mm]\bruch{\pi}{3}cosx-\wurzel{3}\cos x [/mm]
Stop!
Schau dir doch mal die Terme [mm]\sin\bruch{\pi}{3}[/mm] und [mm]\cos\bruch{\pi}{3}[/mm] an! Was kannst du mit denen denn machen?
Bei (ii) ist, soweit ich das sehen kann, alles Richtig!
Gruß Deuterinomium
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Ah! Da hab ich wohl vor lauter Freude am Umformen das Wesentliche übersehen.
Vielen Dank!
Dann komme ich auf folgendes:
sinx = [mm] 2sinx*cos(\bruch{\pi}{3}) [/mm] + 2 [mm] sin(\bruch{\pi}{3}) [/mm] - [mm] \wurzel{3} [/mm] cosx
[mm] \gdw [/mm] sinx = 2sinx* [mm] \bruch{1}{2} [/mm] +2 [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{3} [/mm] cosx - [mm] \wurzel{3} [/mm] cosx
[mm] \gdw [/mm] sinx = sinx
[mm] \gdw [/mm] 0 = 0
Nur bin ich mir mit der Deutung des Ergebnises noch nicht ganz klar.
Bedeutet das dann [mm] \IL [/mm] = [mm] \IR, [/mm] da ich gewissermassen für x alles einsetzten kann was ich will?
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Hallo RapiTiger,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ah! Da hab ich wohl vor lauter Freude am Umformen das
> Wesentliche übersehen.
> Vielen Dank!
>
> Dann komme ich auf folgendes:
> sinx = [mm]2sinx*cos(\bruch{\pi}{3})[/mm] + 2 [mm]sin(\bruch{\pi}{3})[/mm] -
> [mm]\wurzel{3}[/mm] cosx
> [mm]\gdw[/mm] sinx = 2sinx* [mm]\bruch{1}{2}[/mm] +2 [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm]
> cosx - [mm]\wurzel{3}[/mm] cosx
> [mm]\gdw[/mm] sinx = sinx
> [mm]\gdw[/mm] 0 = 0
>
> Nur bin ich mir mit der Deutung des Ergebnises noch nicht
> ganz klar.
> Bedeutet das dann [mm]\IL[/mm] = [mm]\IR,[/mm] da ich gewissermassen für x
> alles einsetzten kann was ich will?
Genau so ist es, [mm]\IL=\IR[/mm].
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Mi 17.06.2009 | | Autor: | RapiTiger |
Vielen Dank euch beiden!
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