Trigonometrische Gleichung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung der Gleichung im Intervall [mm] [0;2\pi]:
[/mm]
2sin²(x) - sin(x) = 1 |
Ich hab hier ein kleines Verständnisproblem,was aber nicht direkt mit der Rechnung zusammenhängt,deshalb kürz ich die Rechnung etwas ab.
Rechnung:
Substitution: sin(x)=z
Lösungen: [mm] z_1=1 [/mm]
[mm] z_2=-0,5
[/mm]
[mm] z_2 [/mm] kann ich ja ausschliessen weil es nicht in dem angegebenen Intervall liegt.
dann:
sin(x)=1
[mm] x_1= 0,5\pi
[/mm]
So, meiner Meinung nach wäre das die einzige Lösung.
Denn normalerweise berechnet man [mm] x_2 [/mm] ja mit [mm] \pi [/mm] - [mm] x_1 [/mm] , somit käme man wieder auf das selbe Ergebnis.
Nur hab ich hier die Lösung angegeben und ich kann einfach nicht nachvollziehen wie die auf die beiden anderen x-Werte kommen!!!!
[mm] x_2= \bruch{7}{6}\pi
[/mm]
[mm] x_3= \bruch{11}{6}\pi
[/mm]
Danke!
Liebe Grüße,
Kati
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Hallo Kati!
Du bist etwas voreilig, wenn Du die Lösung(en) für [mm] $z_2 [/mm] \ = \ [mm] \sin(x) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{2}$ [/mm] verwirfst.
Das angegebene Intervall [mm] $\red{x} [/mm] \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \left[ \ 0 \ ; \ 2\pi \ \right]$ [/mm] bezieht sich ja auf die x-Werte und nicht die z-Werte.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
ja,das ist schon klar. der x Wert ist aber auch negativ, deshalb hab ichs verworfen.
ahhh, jetzt hab ichs verstanden. der erste wert ist zwar negativ, aber wenn ich den negativen wert von [mm] \pi [/mm] abzieh komm ich ja auf [mm] 7/6\pi[/mm]
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> ja,das ist schon klar. der x Wert ist aber auch negativ,
> deshalb hab ichs verworfen.
Na, da schau Dir mal die Sinusfunktion zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] an...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Angela, hab meinen Fehler eben schon gefunden. Jetzt ist es mir klar 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Entschuldigung, ich bins nochmal.
Ich hab grad versucht das an anderen Aufgaben, wo die Lösungen angegeben sind, zu üben, damit es mir besser von der Hand geht.
Bei einer Aufgabe bekomm ich ein Ergebnis mehr raus, als angegeben.
Ich weiss nicht ob ich jetzt schon wieder was falsch gemacht hab....
Die Vorrechnung lass ich jetzt mal weg, weil sie unrelevant ist.
Das Ergebnis soll wieder im Intervall [mm] [0;2\pi] [/mm] liegen.
sin(x)= [mm] -\bruch{5}{13}
[/mm]
und
sin(x)= -1
bei dem 2. stimmt mein Ergebnis mit der Lösung überein, hier gibt es nur [mm] x_1=\bruch{3}{2}\pi
[/mm]
das erste ist das was mir Probleme bereitet:
sin(x)= [mm] -\bruch{5}{13}
[/mm]
x= - 0,395
[mm] x_2= \pi [/mm] + 0,395= 3,537
und
[mm] x_3= 2\pi [/mm] - 0,395 = 5,888
Als Lösung ist aber nur [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] und 5,888 angegeben.
Warum ist denn 3,537 kein Ergebnis???
Danke schon wieder fürs Drübergucken!
Liebe Grüße,
Kati
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> Die Vorrechnung lass ich jetzt mal weg, weil sie unrelevant
> ist.
> Das Ergebnis soll wieder im Intervall [mm][0;2\pi][/mm] liegen.
>
> sin(x)= [mm]-\bruch{5}{13}[/mm]
>
> und
>
> sin(x)= -1
>
> bei dem 2. stimmt mein Ergebnis mit der Lösung überein,
> hier gibt es nur [mm]x_1=\bruch{3}{2}\pi[/mm]
>
> das erste ist das was mir Probleme bereitet:
>
> sin(x)= [mm]-\bruch{5}{13}[/mm]
>
> x= - 0,395
>
> [mm]x_2= \pi[/mm] + 0,395= 3,537
>
> und
>
> [mm]x_3= 2\pi[/mm] - 0,395 = 5,888
>
> Als Lösung ist aber nur [mm]\bruch{3}{2}\pi[/mm] und 5,888
> angegeben.
> Warum ist denn 3,537 kein Ergebnis???
Hallo,
wenn in der Aufgabe keine Einschränkungen gemacht sind, welche Deinen zweiten Wert ausschließen, hast DU recht. Ein Blick auf den Graphen bestätigt das ja auch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich hab auch dauernd hin und her überlegt, mir ne skizze gemacht etc.
und eigentlich hat das so alles gepasst. aber ich bin mir halt doch ein bisschen unsicher,weil der wert in der lösung nicht angegeben ist...
die ursprüngliche aufgabe war:
3sin(x) - 2cos(x) + 3 =0
Vielleicht hab ich da irgendwas übersehen? Gibt mir das eine Einschränkung?
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>
> die ursprüngliche aufgabe war:
>
> 3sin(x) - 2cos(x) + 3 =0
>
> Vielleicht hab ich da irgendwas übersehen? Gibt mir das
> eine Einschränkung?
Hallo,
ich habe eben mal Deine errechneten Werte eingesetzt, und in der Tat löst 3,5 die Gleichung nicht.
Da muß unterwegs etwas schiefgegangen sein.
Am besten, Du rechnest nochmal, wenn's dann nicht klappt, kannst Du ja hier mal die Rechnung zeigen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Aber das versteh ich einfach nicht.
Du hast ja auch gesagt,dass es so sein müsste.
Und das Zwischenergebnis sin(x)= [mm] -\bruch{5}{13} [/mm] und sin(x)= -1 war in der Lösung auch angegeben, also kann ich auf dem Weg auch keinen Fehler gemacht haben, sonst wäre ich ja nicht auf dieses Ergebnis gekommen...
ich bin wirklich noch am Verzweifeln!! Das ist echt überhaupt nicht mein Thema...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Do 15.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Ich hab auch dauernd hin und her überlegt, mir ne skizze
> gemacht etc.
> und eigentlich hat das so alles gepasst. aber ich bin mir
> halt doch ein bisschen unsicher,weil der wert in der lösung
> nicht angegeben ist...
> die ursprüngliche aufgabe war:
>
> 3sin(x) - 2cos(x) + 3 =0
>
> Vielleicht hab ich da irgendwas übersehen? Gibt mir das
> eine Einschränkung?
Hallo, ich vermute du hast in dieser Gleichung cosx = [mm] \wurzel{1-sin^{2}x} [/mm] genommen und dann quadriert um Wurzel zu eliminieren. Es passiert aber häufig, dass nach dem Quadrieren man die Lösungen kriegt, die nicht zur ursprünglichen Gleichung passen. Deshalb wenn du diese Methode bei der Lösung einer Gleichung anwendest, dann immer alle Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und überprüfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke dir!
Ist das immer so? Also muss ich bei solchen Aufgaben dann immer die Probe machen??
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Hallo,
wenn Du unterwegs quadrierst, mußt Du eine Probe machen, weil das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
Ich will Dir das an einem einfachen Beispiel zeigen:
x=3
==>
[mm] x^2=9
[/mm]
==> [mm] x_{1,2}=\pm [/mm] 3.
Wenn Du nun oben einsetzt, siehst Du, daß nur [mm] x_1=3 [/mm] die Gleichung löst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Do 15.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, danke schön!
Und danke wegen dem tollen Beispiel!! Hätt das sonst einfach so hingenommen... aber anhand von dem einfachen Beispiel ist es für mich jetzt klarer geworden!
Danke,danke,danke!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Do 15.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Danke dir!
> Ist das immer so? Also muss ich bei solchen Aufgaben dann
> immer die Probe machen??
Ja. Obwohl die "falsche" Lösungen nicht immer vorkommen.
Ich gebe die zwei Gleichungen als Beispiel.
1. [mm] \wurzel{x^2-5}=2
[/mm]
2. [mm] \wurzel{x}=x-2
[/mm]
Probiere mal selber.
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