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| Aufgabe | Beweisen Sie mit der Eulerschen Formel [mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x):
[/mm]
b) [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] , [mm] cos^{2}(x)-sin^{2}(x)=cos(2x)
[/mm]
c) sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
d) [mm] (r*(cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=r^{n}*(cos(n*\phi)+isin(n*\phi)) [/mm] |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz verwendet:
Umstellen von [mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x) [/mm] nach sin(x) und cos(x):
[mm] cos(x)=e^{ix}-i*sin(x)
[/mm]
[mm] sin(x)=-i*e^{ix}+i*cos(x)
[/mm]
Einsetzen in [mm] cos^{2}(x)+sin^{2}(x)=1 [/mm] liefert:
[mm] [e^{ix}-i*sin(x)]^{2}+[-i*e^{ix}+i*cos(x)]^{2}=1
[/mm]
Kann man das so machen?
Danke vorab.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Sa 30.04.2011 | | Autor: | weduwe |
ich würde zuerst [mm] e^{-ix} [/mm] bestimmen
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und was macht man mit [mm] e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x) [/mm] ?
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> und was macht man mit [mm]e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm] ?
Löse das Gleichungssystem
[mm]e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)\quad\wedge\quad e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm]
nach cos(x) und sin(x) auf !
LG Al-Chw.
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> > und was macht man mit [mm]e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm] ?
>
>
> Löse das Gleichungssystem
>
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> [mm]e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)\quad\wedge\quad e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)[/mm]
>
> nach cos(x) und sin(x) auf !
Brauche ich nicht zu machen, da Aufgabe a) folgende war:
a) [mm] cos(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm] , [mm] sin(x)=\bruch{e^{ix}+e^{-ix}}{2i}
[/mm]
somit habe ich sin(x) und cos(x). muss ich jetzt einfach einsetzen in die b) für [mm] cos^{2}(x) [/mm] und [mm] sin^{2}(x) [/mm] ?
2) Wie gehe ich bei der c) vor?
>
>
> LG Al-Chw.
>
Danke vielmals.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) ja,
zu c) die ursprüngliche Formel!
gruss leduart
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> Hallo
> zu a) ja,
ok
> zu c) die ursprüngliche Formel!
meinst du [mm] e^{ix}=cos(x)+isin(x) [/mm] ind c) auf der rechten seite einsetzen ?
mich irritiert dieses sin(x+y).
> gruss leduart
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte c und d verwechselt, bitte zitier deine aufgaben, damit man nicht ewig runskrollen muss.
bei c) wieder die Formeln für sin und cos verwenden.
gruss leduart
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| Aufgabe | | d) [mm] (r\cdot{}(cos(\phi)+isin(\phi))^{n}=r^{n}\cdot{}(cos(n\cdot{}\phi)+isin(n\cdot{}\phi)) [/mm] |
Hallo,
ich habe alle bis auf die d) gemacht, deswegen die Frage: Wie gehe bei der d) vor?
Danke.
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Hallo,
bei d) handelt es sich ja um nichts anderes als die Moivresche Formel. Du könntest geometrisch argumentieren, indem du zeigst, dass bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen der Betrag des Produkts das Produkt der einzelnen Beträge, das Argument des Produkts jedoch die Summe der beiden einzelnen Argumente ist.
Oder aber du gehst über die Euler-Identität, dann geht es einfach per Potenzgesetz. Und so ist es ja auch nach Aufgabenstellung gemeint.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Der Fall n=1 ist klar.
Für n=2 verwende die Aditionstheoreme von Sinus und Cosinus.
Rest mit Induktion.
FRED
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