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Das unbestimmte Integral [mm] \integral_{}^{}{\wurzel{9-x^2}^{-1} dx} [/mm] soll ermittelt werden.
für x= 3 sin a ist dx= 3 cos a da
daraus ergibt sich:
[mm] \integral_{0}^{0}{\wurzel{9-x^2}^{-1]} dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{0}{(3(cos a) da)/ \wurzel{9-(sin^2 a)}}
[/mm]
Wie lauten die folgenden Schritte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:49 So 18.05.2008 | | Autor: | kaliyanei |
Korrektur: Natürlich handelt es bei den Intervallgrenzen nicht um {0,0}! Es ist schließlich ein unbestimmtes Integral.
Ich entschuldige mich für diesen Fauxpas und meine heutige Verwirrung bezüglich Trig. Funktionen.
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Hallo kaliyanei,
> Das unbestimmte Integral
> [mm]\integral_{}^{}{\wurzel{9-x^2}^(-1) dx}[/mm] soll ermittelt
> werden.
>
> für x= 3 sin a ist dx= 3 cos a da ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> daraus ergibt sich:
> [mm]\integral_{0}^{0}{\wurzel{9-x^2}^(-1) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{0}{(3(cos a) da)/ \wurzel{9-(\red{9}sin^2 a)}}[/mm]
Hmm, was genau steht da? Das "/" ist ein [mm] "\cdot{}" [/mm] oder? Und die Grenzen müssen weg, sonst wäre das Integral 0  Und unter der Wurzel musstest du ja [mm] $3\sin(a)$ [/mm] quadrieren, also sollte da [mm] $9\sin^2(a)$ [/mm] stehen
Mit der obigen Substitution ergibt sich erstmal:
[mm] $\int{\sqrt{9-x^2} \dx}=\int{\sqrt{9-(3\sin(a))^2} \cdot{}3\cos(a) \ da}=\int{\sqrt{9(1-\sin^2(a))} \cdot{}3\cos(a) \ da}$
[/mm]
[mm] $=\int{3\sqrt{1-\sin^2(a)} \cdot{}3\cos(a) \ da}=9\int{\sqrt{1-\sin^2(a)} \ \cos(a) \ da}=9\int{\sqrt{cos^2(a)} \ \cos(a) \ da}=9\int{\cos^2(a) \ da}$
[/mm]
Das kannst du nun mit partieller Integration verarzten
LG
schachuzipus
>
> Wie lauten die folgenden Schritte?
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Ok, danke erst einmal.
Gut, dass du meine Tippfehler korrigiert hast.
Allerdings lautete die Funktion [mm] \wurzel{9-x^2} [/mm] ^{-1} .
Ich versuche gerade, mir verpassten Stoff anzueignen, und die Lösung, die für diese Aufgabe angeben war, schien ziemlich irrsinnig (und sie ist falsch...soviel zum Thema Lehrbuchqualität). Daher meine Nachfrage.
Gibt es eigentlich für diese Art Funktion noch einen effizienteren Weg, das Integral zu lösen?
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Hallo nochmal,
> Ok, danke erst einmal.
> Gut, dass du meine Tippfehler korrigiert hast.
>
> Allerdings lautete die Funktion [mm]\wurzel{9-x^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
^{-1} .
Das ist ja noch besser, dann wird's kinderleicht
>
> Ich versuche gerade, mir verpassten Stoff anzueignen, und
> die Lösung, die für diese Aufgabe angeben war, schien
> ziemlich irrsinnig (und sie ist falsch...soviel zum Thema
> Lehrbuchqualität). Daher meine Nachfrage.
>
> Gibt es eigentlich für diese Art Funktion noch einen
> effizienteren Weg, das Integral zu lösen?
Der eingeschlagene Weg ist genau der richtige:
Du bekommst mit deiner Substitution also dann:
$\int{\frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \ dx}=\int{\frac{1}{\sqrt{9-(3\sin(a))^2}} \ 3\cos(a) \ da}=...$ wie oben $...$
$=\frac{3\cos(a)}{3\sqrt{1-\sin^2(a)}} \ da}=\int{\frac{\cos(a)}{\sqrt{\cos^2(a)}} \ da}=\int{1 \ da}$
Das ist doch wunderbar, oder?
Das Integral löse nun mal und dann noch resubstituieren...
LG
schachuzipus
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