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| Aufgabe | Jedes Polynom q [mm] \in \produkt [/mm] kann als Linearkombination von Tschebyscheff-Polynomen dargestellt werden:
[mm] q(t)=b_{n}T_{n}(t)+b_{n-1}T_{n-1}(t)+ \cdots +b_{1}T_{1}(t)+b_{0}T_{0}(t) [/mm] für i=1 [mm] \cdots [/mm] n.
ein Beispiel: [mm] t^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(T_{0}+T_{2})
[/mm]
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Hallo alle zusammen!
Ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Könntet ihr mit bitte sagen, wie ich die Monome als Linearkombination von Tschebyscheff-Polynomen darstellen kann?
Ich habe es "zu Fuß" versucht, in dem ich die Terme auf die jeweils andere Seite hin und her addiert hab... Das funktioniert nicht:(. Es gibt sicherlich ein bestimmtes Vorgehen, die so darzustellen, oder?!
Ich hoffe, ihr könnt mir dabei weiterhelfen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele Grüße, favourite
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Hallo favourite,
wenn Dein Plan schon nicht aufgegangen ist, solltest Du wenigstens Deinen Versuch dokumentieren. Auch das fällt für uns unter eigene Lösungsansätze.
Mit dazu gehören, gerade wenn es noch nicht aufgeht, die nötigen ![[]](/images/popup.gif) Definitionen. Dann wüssten auch diejenigen, die sich mit der Materie schon beschäftigt haben, dass Du Tschebyscheff-Polynome erster Art meinst. Und andere könnten sich schnell kundig machen und hätten vielleicht auch eine Idee, welcher Tipp Dir weiterhelfen könnte.
Ich habe selbst im Bereich "mathematische Kunst" mit solchen Polynomen gearbeitet, sie sind mir daher recht vertraut. Wenn Du ihren Aufbau genauer betrachtest, siehst Du, dass sie entweder nur gerade oder nur ungerade Potenzen von x enthalten, entsprechend ihrer Ordnung. Des weiteren hat die höchste zu erwartende Potenz immer einen Koeffizienten [mm] \not=0. [/mm] Diese beiden Beobachtungen genügen hier.
Selbst wenn Du die Koeffizienten nicht kennst, ist dann mit Hilfe eines einfachen linearen Gleichungssystems leicht zu zeigen, dass es immer eine Lösung für die Monome gibt. Ein gültiger Nachweis wird das aber nur, wenn Du die oben vorausgesetzte Behauptung auch zeigst, was aber nicht so schwierig zu sein scheint. Im übrigen kannst Du so sogar eine explizite Lösung angeben, die ja aber gar nicht gefordert ist.
Viel Erfolg!
reverend
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Hallo reverend!
Da wo Du das sagst, wird mir bewusst, was ich hätte besser machen können . Zugleich bin ich aber froh, dass mich jmd. darauf aufmerksam gemacht und muss mich demnächst nicht wundern, wenn ich keine Tipps bekomme...
Also wie Du schon erwähnt hast, handelt es sich um Tschebyscheff-Polynome 1. Art. Den Aufbau habe ich mir auch noch mal angeschaut, und tatsächlich, sie enthalten entw. gerade oder ungerade Potenzen von x, entspr. ihrer Ordnung! (Das habe ich nicht bemerkt)
Ich möchte noch meine Vorgehensweise zeigen. Zuvor die Definition des Tschebyscheff-Polynoms:
[mm] T_{n}:[-1,1]\to\IR, t\mapsto T_{n}:=cos(n*arccos(t)). [/mm] Für [mm] n\ge1 [/mm] gilt:
[mm] T_{n+1}=2t*T_{n}(t)-T_{n-1}(t).
[/mm]
Nun können die Tschebyscheff-Polynome anhand dieser Rekursionsformel bestimmt werden.
Bsp: [mm] T_{2}(t)=2t^{2}-1. [/mm] Was ich nun mit "zu Fuß gerechnet" gemeint habe, ist, dass ich die Terme jeweils auf die andere Seite gebracht habe, so dass nur das Monom allein auf der anderen Seite bleibt.
Also bei diesem Beispiel: [mm] (T_{2}(t)+1)\bruch{1}{2}=t^{2}. [/mm] Hier konnte ich das Polynom erkennen, aber bei höheren Potenzen hab ich gemerkt, dass ich so nicht vorgehen kann...
Ich hoffe, dass ich mein Problem nun besser dokumentieren konnte und freue mich auf weitere Tipps von Euch.
viele Grüße, favourite
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:01 Sa 23.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo favourite!
> Da wo Du das sagst, wird mir bewusst, was ich hätte besser
> machen können . Zugleich bin ich aber froh, dass mich jmd.
> darauf aufmerksam gemacht und muss mich demnächst nicht
> wundern, wenn ich keine Tipps bekomme...
>
> Also wie Du schon erwähnt hast, handelt es sich um
> Tschebyscheff-Polynome 1. Art. Den Aufbau habe ich mir auch
> noch mal angeschaut, und tatsächlich, sie enthalten entw.
> gerade oder ungerade Potenzen von x, entspr. ihrer Ordnung!
> (Das habe ich nicht bemerkt)
>
> Ich möchte noch meine Vorgehensweise zeigen. Zuvor die
> Definition des Tschebyscheff-Polynoms:
> [mm]T_{n}:[-1,1]\to\IR, t\mapsto T_{n}:=cos(n*arccos(t)).[/mm] Für
> [mm]n\ge1[/mm] gilt:
> [mm]T_{n+1}=2t*T_{n}(t)-T_{n-1}(t).[/mm]
> Nun können die Tschebyscheff-Polynome anhand dieser
> Rekursionsformel bestimmt werden.
>
> Bsp: [mm]T_{2}(t)=2t^{2}-1.[/mm] Was ich nun mit "zu Fuß gerechnet"
> gemeint habe, ist, dass ich die Terme jeweils auf die
> andere Seite gebracht habe, so dass nur das Monom allein
> auf der anderen Seite bleibt.
>
> Also bei diesem Beispiel: [mm](T_{2}(t)+1)\bruch{1}{2}=t^{2}.[/mm]
> Hier konnte ich das Polynom erkennen, aber bei höheren
> Potenzen hab ich gemerkt, dass ich so nicht vorgehen
> kann...
>
> Ich hoffe, dass ich mein Problem nun besser dokumentieren
> konnte und freue mich auf weitere Tipps von Euch.
Zeige doch [mm] $\deg T_n [/mm] = n$. Dann kannst du die Behauptung per Induktion zeigen. Die Monome [mm] $t^0$, $t^1$ [/mm] bilden deinen Induktionsanfang. Danach kannst du [mm] $T_{n+2}$ [/mm] nach [mm] $t^{n+2}$ [/mm] aufloesen, und die niedrigen Terme per Induktionsvoraussetzung entfernen.
LG Felix
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