Tschebyscheff-Ungleichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass dass die Tschebysche-Ungleichung nicht verbessert werden kann. Betrachten Sie dazu eine Zufallsvariable X mit folgender Verteilung:
P(X=x) = [mm] \bruch{1}{2a^{2}} [/mm] , für [mm] x=\mu \pm a\sigma
[/mm]
[mm] 1-\bruch{1}{a^{2}} [/mm] , für [mm] x=\mu [/mm]
0 , sonst
[mm] a,\mu,\sigma [/mm] >0
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Ich komm einfach nicht auf einen Ansatz wie ich das ganze lösen könnte. Wäre über jeden Tipp dankbar.
Viele Dank im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Mi 11.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin analoge2002,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die TU besagt
[mm] $P(|X-\operatorname{E}[X]\le k)\ge P(|X-\operatorname{E}[X]|< k)\ge 1-\frac{\operatorname{Var}[X]}{k^2}$.
[/mm]
Rechne doch einmal fuer "deine" Zufallsvariable $X$
den Erwartungswert [mm] $\operatorname{E}[X]$ [/mm] und die Varianz [mm] $\operatorname{Var}[X]$ [/mm] aus
und setze in die TU ein.
Hinweis: Es ist legitim mit [mm] $\mu=0$, $\sigma^2=1$ [/mm] und $a=1$ zu rechnen.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Blech |
Vielleicht noch zusätzlich zu Luis' Post:
Was Du suchst ist ein spezieller Fall, wo die Chebyshev-Ungleichung scharf ist.
Also ein [mm] $\varepsilon$, [/mm] so daß bei
$ [mm] P(|X-E(X)|\ge \varepsilon)\le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$
[/mm]
Gleichheit gilt. Alles andere hast Du ja schon vorgegeben, Du brauchst also nur noch das [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
(Die Aufgabenstellung ist übrigens schwach. Es könnte ja sehr wohl eine andere Abschätzung geben, die nie schlechter ist als die Chebyshev-Schranke, aber manchmal besser)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:04 Sa 14.06.2008 | | Autor: | Pidgin |
Ich muss die gleiche Aufgabe auch lösen. Ich hab bis jetzt E[x]= [mm] \mu [/mm] und [mm] Var[X]=\sigma^2 [/mm] berechnet.
Mein Problem ist jetzt, dass ich die Gleichheit von [mm] P(|X-\mu|
Den Tipp mit [mm] \mu [/mm] = 0 setzen darf ich nicht verwenden, da laut Aufgabenstellung gilt [mm] \mu>0. [/mm] Darf ich [mm] \sigma^2 [/mm] = 1 setzten? Dann wäre die Gleichheit ja gezeigt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:01 Sa 14.06.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin pidgin,
> Mein Problem ist jetzt, dass ich die Gleichheit von
> [mm]P(|X-\mu|
> habe ich schon einen Fehler gemacht?
Setze doch einmal [mm] $k=a\sigma$ [/mm] in der TU
$ [mm] P(|X-\mu|< k)\ge 1-\frac{\sigma^2}{k^2} [/mm] $.
> Den Tipp mit [mm]\mu[/mm] = 0 setzen darf ich nicht verwenden, da
> laut Aufgabenstellung gilt [mm]\mu>0.[/mm]
Stimmt, habe ich ueberlesen.
> Darf ich [mm]\sigma^2[/mm] = 1
> setzten? Dann wäre die Gleichheit ja gezeigt?
Brauchst du jetzt nicht mehr.
vg Luis
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