Tschebyscheff < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo,
ich habe heute meine Stochastik 1 Klausur geschrieben und denke jetzt noch etwas über die Lösung nach.
In einer Aufgabe ging es um eine exponentialverteilte Zufallsvariable X mit Parameter [mm] \lamda=0,035. [/mm] Es ging weiter um ein Blitzgerät, dass in einer 30-er Zone aufgestellt wird. Ab einer Überschreitung von 10 Prozent: also hier größer 33 löst der Blitzer aus. Nun sollte die Wahrscheinlicheit bestimmt werden, dass der Blitzer auslöst. Ich habe sofort an Tschebyscheff gedacht und den Erwartungswert sowie die Varianz der obigen Exponentialverteilung bestimmt und damit P(X [mm] \ge [/mm] 33) abgeschätzt. Ich kam allerdings zu keinem vernünftigen Ergebnis..und es ist ja dann dennoch auch nur eine Abschätzung und kein fester wert. Was könnte also hier gefragt gewesen sein?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:26 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Hey Alex1993,
Ich habe eine Theorie, warum das bei dir schief gelaufen sein könnte, aber kannst du mir vorher grad nochmal sagen, wie ihr die Dichte der Exponentialverteilung genau definiert habt?
Was eigentlich gefragt war, war das Integral:
[mm] $\integral_{33}^{\infty} f_\lambda(x) [/mm] dx$
wobei [mm] $f_\lambda(x)$ [/mm] grad deine Dichte ist.
Also alles was über 33 km/h liegt aufintegriert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 04.02.2015 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
mich wundert es nur, da wir diese Art von Integration der Dichte in solch einem Zusammenhang nie hatten. danke, ich glaube ich verstehe nun, was gemeint ist. Allerdings frage ich mich, warum hier die Tschebyscheff Ungleichung nicht funktioniert?
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:54 Mi 04.02.2015 | | Autor: | huddel |
Deine Idee it Tschebyscheff an sich war garnicht so schlecht. Jedoch schätzt Tschebyscheff Abweichungen vom Erwartungswert in beide Richtungen ab und nicht nur in eine. Das ist der erste Fehler.
Der zweite, wahrscheinlich wichtigere ist folgender:
ich gehe mal davon aus, dass ihr die Dichte der Exp-Verteilung zum Parameter [mm] $\lambda$ [/mm] für $x [mm] \geq [/mm] 0$ also [mm] $f_\lambda(x) [/mm] = [mm] \lambda e^{-\lambda x}$ [/mm] definiert habt. für [mm] $\lambda [/mm] =0.035$ ergibt sich hierraus ein Erwartungswert von [mm] $\frac{1}{\lambda} \cong [/mm] 28,57$ und eine Varianz von [mm] $\frac{1}{\lambda^2} \cong [/mm] 816,32$ und damit ne Standardabweichung von [mm] $\sigma \cong \sqrt{816,32} \cong [/mm] 28,57$. Nun hast du eine Abweichung vom Erwartungswert von 5 km/h untersucht, jedoch funktioniert Tschebyscheff erst ab einer Abweichung von [mm] $\sigma$ [/mm] vorher kommen nur trivialitäten raus. Ich gehe mal davon aus, dass genau das bei dir passier ist, oder? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:55 Do 05.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Alex1993!
Sei [mm] X\sim\text{Exp}(\lambda) [/mm] mit [mm] \lambda=0.035, [/mm] dann gilt:
[mm] P(X\ge 33)=1-P(X\le 33)=1-(1-e^{-33\lambda})=e^{-33\lambda}=e^{-33*0.035}.
[/mm]
(Allgemein: Überlebensfunktion.)
Gruß
DieAcht
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