Tschebyscheff Polynom < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man zeige bei den Tschebyscheff-Polynomen [mm] T_n(t)=cos(n*arccos(t)):
[/mm]
[mm] T_n(t)=\bruch{1}{2}[(t+\wurzel(1-t^2))^n+(t-\wurzel(1-t^2))^n]
[/mm]
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Hi,
ich habe oben die Aufgabenstellung bisschen abgekürzt. Aber die Gleichung dort oben soll gezeigt werden.
Dazu hatte ich was im Internet gefunden:
Stellen wir den trigo. Kosinus mit Hilfe von [mm] z=exp(j*\varepsilon) [/mm] dar, so erhalten wir eine weitere Parameterdarstellung:
[mm] T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n}) [/mm] und [mm] t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1}).
[/mm]
[mm] t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1}) [/mm] kann ich umstellen nach: [mm] z^2-2tz+1=0 [/mm] und dann:
[mm] z=t\pm\wurzel{t^2 - 1} [/mm] und [mm] z^{-1}=t\pm \wurzel{t^2 -1}
[/mm]
Setze ich diese beiden Ergebnisse wieder in [mm] T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n}) [/mm] ein, erhalte ich das gewünschte Ergebnis.
Meine Verständnisfrage aber jetzt:
Wie kommen die auf [mm] T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n}) [/mm] und [mm] t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})???
[/mm]
Ich weiß ja, dass folgendes gilt:
[mm] cos(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}), [/mm] aber wie kommen die damit auf [mm] T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n}) [/mm] und [mm] t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})??
[/mm]
Kann mir das vielleicht jemand erklären??
Danke schon mal.
Gruß
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Hallo jaruleking,
> Man zeige bei den Tschebyscheff-Polynomen
> [mm]T_n(t)=cos(n*arccos(t)):[/mm]
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> [mm]T_n(t)=\bruch{1}{2}[(t+\wurzel(1-t^2))^n+(t-\wurzel(1-t^2))^n][/mm]
>
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> Hi,
>
> ich habe oben die Aufgabenstellung bisschen abgekürzt.
> Aber die Gleichung dort oben soll gezeigt werden.
>
> Dazu hatte ich was im Internet gefunden:
>
> Stellen wir den trigo. Kosinus mit Hilfe von
> [mm]z=exp(j*\varepsilon)[/mm] dar, so erhalten wir eine weitere
> Parameterdarstellung:
>
> [mm]T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n})[/mm] und
> [mm]t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1}).[/mm]
>
> [mm]t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})[/mm] kann ich umstellen nach:
> [mm]z^2-2tz+1=0[/mm] und dann:
>
> [mm]z=t\pm\wurzel{t^2 - 1}[/mm] und [mm]z^{-1}=t\pm \wurzel{t^2 -1}[/mm]
>
> Setze ich diese beiden Ergebnisse wieder in
> [mm]T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n})[/mm] ein, erhalte ich das
> gewünschte Ergebnis.
>
> Meine Verständnisfrage aber jetzt:
>
> Wie kommen die auf [mm]T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n})[/mm] und
> [mm]t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})???[/mm]
>
> Ich weiß ja, dass folgendes gilt:
>
> [mm]cos(z)=\bruch{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz}),[/mm] aber wie kommen die
> damit auf [mm]T_n(t)=\bruch{1}{2}(z^n+z^{-n})[/mm] und
> [mm]t=\bruch{1}{2}(z+z^{-1})??[/mm]
>
> Kann mir das vielleicht jemand erklären??
Es wurde hier die Schreibweise
[mm]z=\cos\left(u\right)+i*\sin\left(u\right)[/mm]
[mm]z^{-1}=\cos\left(u\right)-i*\sin\left(u\right)[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm]\cos\left(u\right)=\bruch{1}{2}*\left(z+z^{-1}\right)[/mm]
Analog:
[mm]z^{\blue{n}}=\cos\left(\blue{n}*u\right)+i*\sin\left(\blue{n}*u\right)[/mm]
[mm]z^{-\blue{n}}=\cos\left(\blue{n}*u\right)-i*\sin\left(\blue{n}*u\right)[/mm]
Woraus sich
[mm]\cos\left(n*u\right)=\bruch{1}{2}*\left(z^{n}+z^{-n}\right)[/mm]
ergibt.
Setze jetzt beidemale [mm]u=\arccos\left(t\right)[/mm] ein.
>
> Danke schon mal.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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Ok, damit hats geklappt. Besten dank.
Kann vielleicht noch jemand bei dieser Teilaufgabe helfen:
Man soll zeigen:
- [mm] T_n \in P_n [/mm] (Menge aller Polynome) und [mm] T_n(t)=2^{n-1} t^n [/mm] + p(t) mit [mm] p\in P_{n-2}.
[/mm]
- Die Rekursion [mm] T_{n+1}(t)=2*t*T_n(t)-T_{n-1}(t) [/mm] konnte ich schon zeigen. Denke, dieses Resultat muss man da auch benutzen, oder??
Danke für Hilfe.
Gruß
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Hallo jaruleking,
ja, Deine Rekursion ist hilfreich für die Aufgabe.
Im Prinzip sollst Du doch zwei dinge zeigen:
1) jedwedes Tschebyscheff-Polynom vom Grad k enthält die Potenz k-1 nicht; und
2) der Koeffizient vor dem Glied mit der höchsten Potenz (k) ist [mm] 2^{k-1}
[/mm]
Zu 1):
betrachte bei vorliegenden [mm] T_0 [/mm] und [mm] T_1, [/mm] wie [mm] T_2 [/mm] und [mm] T_3 [/mm] gebildet werden. Was sagt Dir das über die zweithöchste Potenz?
Zu 2):
betrachte bei vorliegenden [mm] T_0 [/mm] und [mm] T_1, [/mm] wie sich der Koeffizient der höchsten Potenz für größere [mm] T_i [/mm] bestimmt. Hier ist vollständige Induktion angesagt, falls Du das nicht für ein allgemeines i zeigen kannst.
Wie so oft hat Wolfram recht umfängliche ![[]](/images/popup.gif) weitere Informationen. Ein Tipp zu Deiner Aufgabe ist nicht darunter, wohl aber Deine Rekursion.
Noch ein Hinweis: eigentlich musst Du die Rekursion nur zweimal anwenden.
Grüße
reverend
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Also ich habe mir mal die ersten Polynome jetzt mal angeschaut:
[mm] T_0=1
[/mm]
[mm] T_1=x
[/mm]
[mm] T_2=2x^2 [/mm] - 1
[mm] T_3=4x^3 [/mm] - 3x
[mm] T_4=8x^4 [/mm] - [mm] 8x^2 [/mm] + 1
unsere zu beweisende Formal ist ja: [mm] T_n=2^{n-1} t^n [/mm] + p(t)
So, und wenn ich die zahlen von n=0,..,4 mal einsetze, dann sehe ich, dass immer die höchste Potenz herauskommt, z.B.
n=2: [mm] 2x^2
[/mm]
n=3: [mm] 4x^3
[/mm]
Ok, das heißt, man muss hier wohl einen Induktionsbeweis machen, oder?? Aber wie kann ich dann die Rekursionsformel mit ins Spiel bringen??
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Hallo jaruleking,
da die Rekursionsformel für das Glied (n+1) ja die Terme vom Grad (n) und (n-1) beinhaltet, wirst Du mit einer "normalen", will heißen: einschrittigen Induktion nicht hinkommen.
Nimm [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] als gegeben an, und weise nach, dass sie die "zweithöchste" Potenz nicht beinhalten.
Dann zeige, dass, wenn [mm] T_{k-1} [/mm] und [mm] T_k [/mm] diese Bedingung erfüllen, das auch für [mm] T_{k+1} [/mm] und [mm] T_{k+2} [/mm] gilt. Fertig.
Grüße
reverend
PS: Entschuldige die späte Antwort. Mein DSL geht gerade nicht, so dass ich nur außerhalb (wie jetzt, auf Reisen) hier vorbeikommen kann, und meist nur kurz. In den letzten Tagen bin ich daher nicht dazu gekommen, Deine Frage zu beantworten. Pardon.
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