Tschebyscheffsche Thetafunktion, Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mo 10.05.2004 | | Autor: | puq |
Hallo,
ich habe ein Problem mit zwei Umformungen, die mir unklar sind.
Angeblich ist für [mm] s \in \IC \ [/mm] mit [mm] \ Re(s) \ > \ 1 [/mm]
[mm] \summe_{p \ prim} log(p)/p^s \ = \integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s} \, dx \ = \ s \integral_{1}^{\infty} \bruch{\vartheta(x)}{x^{s+1}} \, dx [/mm]
wobei [mm] \vartheta(x) \ = \summe_{p \le x \ , \ p \ prim} log(p) [/mm] die Tschebyscheffsche Thetafunktion ist.
Ich komme nicht darauf, warum das gelten soll.
Es wäre nett, wenn jemand hierzu etwas wüsste.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo puq!
Zunächst zur Gleichheit:
[mm]\summe_{p \ prim} log(p)/p^s \ = \integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s}[/mm]
(hier machte das [mm]dx[/mm] keinen Sinn, daher habe ich es entfernt).
Was ist denn [mm]\integral_{1}^{\infty} \bruch{d\vartheta(x)}{x^s}[/mm]? Ein Riemann-Stieltjes-Integral!
![[]](/images/popup.gif) http://reinhold.kainhofer.com/Math/Stieltjes/
Wie bildet man ein Riemann-Stieltjes-Integral, wenn der Integrator eine monoton wachsende Funktion mit Sprungstellen ist? Die Sprungstelle in den Integrande einsetzen, multipliziert mit dem "Zuwachs" des Integrators an der Sprungstelle. Die Sprungstellen sind aber gerade die Primzahlen. Daher erhält man genau den Ausdruck, der da steht.
Klar?
Nun zur zweiten Gleichheit: Das ist die partielle Integration für Riemann-Stieltjes-Integrale!
Beachte bitte, dass "die Terme ohne Differentiale" in der Formel für die partielle Integration wegen
[mm]\theta(1)=0[/mm]
und
[mm]\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\theta(x)}{x^s}= 0[/mm]
für [mm]Re(s)>1[/mm] verschwinden.
Frag nach, wenn was unklar bleibt.
Liebe Grüße
Julius
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