Tschebyschew-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | ein fairer würfel wird n-mal geworfen.sei Yn = Sn/n, wobei Sn die anzahl der geworfenen Sechser angibt.
der würfel soll mind. so oft geworfen werden, dass mit einer sicherheit von 97% der wert von Yn um weniger als 0.01 von 1/6 abweicht. wie viele würfe sind nach der tschebyschew-ungleichung erforderlich?
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Hallo, ich habe in 2 Tagen meine Kausur in Wahrscheinlichkeit und so eine ähnliche Aufgabe kommt mit Sicherheit dran, nur komm ich einfach nicht weiter. Bis jetzt hab ich:
P((Xn -EX)>epsilon)<= Var Xn / [mm] epsilon^2
[/mm]
=> P((Yn -1/6)<=0.01) => 1-P((Yn -1/6)>0.01)<= Var Yn/ [mm] 0.01^2
[/mm]
P((Yn -1/6)<=0.01)>= 1- Var Yn/ [mm] 0.01^2
[/mm]
Var Yn = Var 1/n Sn
= [mm] 1/n^2 [/mm] Var Sn
= [mm] 1/n^2 [/mm] np(1-p)
=> 1- [mm] ((1/n^2)np(1-p))/0.01^2 [/mm] = 0.97
jedoch mit p= 1/6 kommt da ein n= 0,......
das kann jedoch nicht sein-muss etwas bei mind. n= 1000 raus kommen.
wär total dankbar, wenn mir jemand den fehler sagt bzw. den richtigen weg zeigt.bin auf euch angewiesen!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, happypeace,
> ein fairer würfel wird n-mal geworfen.sei Yn = Sn/n, wobei
> Sn die anzahl der geworfenen Sechser angibt.
> der würfel soll mind. so oft geworfen werden, dass mit
> einer sicherheit von 97% der wert von Yn um weniger als
> 0.01 von 1/6 abweicht. wie viele würfe sind nach der
> tschebyschew-ungleichung erforderlich?
>
> Hallo, ich habe in 2 Tagen meine Kausur in
> Wahrscheinlichkeit und so eine ähnliche Aufgabe kommt mit
> Sicherheit dran, nur komm ich einfach nicht weiter. Bis
> jetzt hab ich:
>
> P((Xn -EX) [mm] \ge \epsilon)<= [/mm] Var Xn / [mm]epsilon^2[/mm]
Naja: Für die hier vorliegende Bernoulli-Kette lautet die Tsch.Ungl. ja eigentlich:
P(|Sn/n - 1/6| [mm] \ge [/mm] 0,01) [mm] \le \bruch{1/6*5/6}{0,01^{2}*n}
[/mm]
bzw.
P(|Sn/n - 1/6| < 0,01) > 1 - [mm] \bruch{1/6*5/6}{0,01^{2}*n} \ge [/mm] 0,97
Und wenn Du nun die letzte Ungleichung umformst, erhältst Du zunächst
5/36 [mm] \le [/mm] 0,03*0,0001*n.
Aufgelöst nach n ergibt das bei mir (ohne Gewähr):
n [mm] \ge [/mm] 46296,3
mfG!
Zwerglein
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| Aufgabe | | P(|Sn/n - 1/6| [mm] \ge [/mm] 0,01) [mm] \le [/mm] (1/6 * 5/6) /(n * [mm] 0,01^2) [/mm] |
Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Jedoch hab ich noch eine kleine Frage. Woher kommt das n unter dem Bruchstrich? von der Varianz?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Mo 06.04.2009 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
ja, es kommt von der Varianz, denn
[mm] Var(\bruch{1}{n}\summe X_n) [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2} Var(\summe X_n) [/mm] = [mm] \bruch{np(1-p)}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{p(1-p)}{n}
[/mm]
LG djmatey
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