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Forum "stochastische Analysis" - Tschebyschow
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Tschebyschow: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:02 Mi 23.01.2008
Autor: barsch

Aufgabe
Haben ideale Münze, die wir 900mal werfen. p sei die Wahrscheinlichkeit wenigsten 420 und höchstens 480mal Kopf zu werfen.
Berechne p mittels Tschebyschow-Ungleichung.

Hi,

zugegeben, eine sehr spezielle Frage, hoffe aber, dass man mir da weiterhelfen kann.

Ich fange einfach mal so an, wie ich mir das gedacht habe: :-)

X sei Zufallsvariable und beschreibe Anzahl "Kopf". Dann ist X Binomialverteilt.

Jetzt treten erste Probleme auf:

Ich habe zwei Formeln:

Sei [mm] \mu [/mm] Erwartungswert, [mm] \sigma^2 [/mm] Varianz, t>0:

[mm] i)\IP(|X-\mu|\ge{t})\le{\bruch{\sigma^2}{t^2}} [/mm]

[mm] ii)\IP(|X-\mu|<{t})\ge{1-\bruch{\sigma^2}{t^2}} [/mm]

Da Binomialverteilt, weiß ich: [mm] \mu=n*p=900*\bruch{1}{2}=450 [/mm] und Varianz [mm] \sigma^2=n\cdot{}p*q=900*\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}=225 [/mm]

Und t? Einmal ist t=420, dann t=480.

Ich würde das so machen:

[mm] i)\IP(|900-450|\ge{420})\le{\bruch{225}{420^2}}\Rightarrow{\IP(450\ge{420})\le{\bruch{225}{420^2}}\approx{0,0013}} [/mm]

[mm] ii)\IP(|900-450|<{480})\ge{1-\bruch{225^2}{480^2}}\Rightarrow{\IP(450<480)\ge{1-\bruch{225^2}{480^2}}\approx{0,9990}} [/mm]

Was ist jetzt mein p? Was sagt mir p genau? Was habe ich falsch gemacht? ;-)

Danke.

MfG barsch

        
Bezug
Tschebyschow: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:18 Mi 23.01.2008
Autor: luis52

Moin Barsch,

es soll eine Aussage uber [mm] $p=P(420\le X\le [/mm] 480)$ gemacht werden. Es gilt

[mm] $P(420\le X\le 480)=P(|X-450|\le 30)\ge [/mm] P(|X-450|> 30)$.

Also ist $t=30$!

*Berechnen* kannst du p mit TU nicht, nur nach unten abschaetzen...

vg Luis        

Bezug
                
Bezug
Tschebyschow: kurze Nachfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Mi 23.01.2008
Autor: barsch

Hi luis,

danke. Es stand auch abschätzen in der Aufgabe. [sorry]

t erhält man dann wohl aus [mm] |\mu-450| [/mm] bzw. [mm] |\mu-480|. [/mm] Okay, dann machen die Betragstriche auch Sinn.

Verstehe ich das dann richtig:

[mm] P(420\le X\le 480)=P(|X-450|\le 30)\ge{P(|X-450|> 30)} [/mm]

Jetzt kann ich ja trotzdem etwas "berechnen" bzw. abschätzen. Nämlich nach Formel gilt:

[mm] P(|X-450|\le 30)\ge{1-0,25}=0,75 [/mm]

P(|X-450|> [mm] 30)\le{0,25} [/mm]

Oder sehe ich das falsch? Was sagen mir die beiden Abschätzungen? Dass die Anzahl der Köpfe X zu .. % in diesem Intervall [420,480] liegen?

MfG barsch

Bezug
                        
Bezug
Tschebyschow: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Do 24.01.2008
Autor: luis52

Moin,

> Was sagen mir die beiden
> Abschätzungen?

Die Wsk p dafuer, bei 900 Wuerfen wenigsten 420 und höchstens 480mal
Kopf zu werfen, ist mindestens 0.75.
  

vg Luis


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