Typ einer Quadrik < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Do 17.12.2009 | | Autor: | lubalu |
| Aufgabe | Man soll den Typ folgender Quadrik bestimmen:
[mm] Q=\left\{ p\in E^3: y^2-z^2+2yz+4x-8y+2=0 \right\} [/mm] |
Hallo.
Ich hab bei Quadriken immer dasselbe Problem: Ich weiß nicht genau, wie ich quadratisch ergänzen soll.
Hier gehts so:
[mm] y^2-z^2+2zy+4x-8y+2=0
[/mm]
<=> [mm] (y+z-4)^2-2z^2+8z+4x-14=0
[/mm]
<=> [mm] (y+z-4)^2-2(z-2)^2+4x-6=0
[/mm]
Ab hier is wieder klar mit Substitution. Man erhält eine Sattelfläche.
Ich versteh das dann schon, dass ich so ergänzen muss, wenn ich nachrechne, aber ich komme selber nicht drauf, dass ich z.B. von 1. Zeile nach 2. Zeile [mm] (y+z-4)^2 [/mm] betrachten muss.
Kann mir jemand den Trick verraten, wie ich da drauf komme?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Do 17.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ein gemischtes Glied yz hast musst du damit und [mm] y^2 [/mm] und [mm] z^2 [/mm] die qu. Ergänzung machen.
wäre es xy eben mit x und y usw.
also 1. Ziel das gemischte Glied (oder die gem Gl. in ner qu. Erg.
der Rest ist dann nur noch die normalen Quadrate.
Und eben immer an [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] denken. dein gemischtes glied ist immer 2ab
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Fr 18.12.2009 | | Autor: | lubalu |
Hallo.
Danke für die schnelle Antwort. Das mit dem gemischten Glied ist mir klar, aber ich versteh immer noch nicht, wieso ich nicht nur [mm] (y+z)^2 [/mm] betrachten muss, sondern [mm] (y+z-4)^2?
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo lubalu,
zu betrachten war [mm] y^2-z^2+2yz+4x-8y+2=0
[/mm]
y und z kommen quadratisch vor und als gemischtes Glied.
Bleiben noch ein Glied mit x, eins mit y und ein absolutes.
Wenn Du nun nur auf [mm] (y+z)^2 [/mm] quadratisch ergänzt, hast Du zwar [mm] y^2 [/mm] und 2yz "erschlagen", aber Du behältst noch irgendwelche [mm] z^2, [/mm] die 4x, die -8y und ein absolutes Glied. Das ist doch nicht günstig.
Wenn Du dagegen das Trinom [mm] (y+z-4)^2 [/mm] ansetzt und entsprechend quadratisch ergänzt, behältst Du noch die 4x, irgendwelche [mm] z^2, [/mm] irgendwelche z, die 4x und ein absolutes Glied. Dann kannst Du in einem nächsten Schritt zu [mm] (z\pm{a}) [/mm] quadratisch ergänzen und bist fertig.
Genauso ist es ja auch geschehen.
Überleg Dir vorher, was für Glieder nach der Ersetzung übrig bleiben, dann findest Du leicht einen passenden Ansatz.
lg
reverend
|
|
|
|
