UG von R* mit endlichem Index < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:00 Di 18.11.2008 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\IR^\star=\IR\setminus\{0\}$ [/mm] die multiplikative Gruppe des Körpers der reellen Zahlen. Zeigen sie, dass es genau eine Untergruppe [mm] $U\subset\IR^\star$ [/mm] gibt, mit endlichem Index, d.h. [mm] $|\IR^\star/\;U|$ [/mm] endlich, gibt. |
Hallo,
Das ist eine Übungsaufgabe auf meinem aktuellen Algebra-Blatt. Die gesuchte Untergruppe ist offenbar [mm] $\IR^{>0}$, [/mm] aber das Problem ist die Eindeutigkeit. Ich habe jetzt wirklich schon lange darüber nachgedacht und habe auch mit einigen Leuten darüber geredet, leider ohne Erfolg. Es gibt möglicherweise einen topologischen Zugang, da [mm] $\IR^\star$ [/mm] ja eine topologische Gruppe ist, und daher gilt
"Eine Untergruppe mit endlichem Index ist offen genau dann, wenn sie abgeschlossen ist"
Damit genügt es also zu zeigen, dass eine UG mit endlichem Index offen oder abgeschlossen ist, denn dann ist sie automatisch offen und abgeschlossen, aber [mm] $\IR^\star$ [/mm] besitzt nur zwei Zusammenhangskomponenten, deren eine offensichtlich keine UG ist - die andere ist [mm] $\IR^{>0}$.
[/mm]
Trotzdem denke ich, dass es eine elementar-algebraische Lösung gibt. Hat jemand eine Idee?
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:43 Mi 19.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]\IR^\star=\IR\setminus\{0\}[/mm] die multiplikative Gruppe
> des Körpers der reellen Zahlen. Zeigen sie, dass es genau
> eine Untergruppe [mm]U\subset\IR^\star[/mm] gibt, mit endlichem
> Index, d.h. [mm]|\IR^\star/\;U|[/mm] endlich, gibt.
Mir fallen spontan schonmal zwei Untergruppen mit endlichem Index ein: [mm] $\IR^\ast$ [/mm] selber und [mm] $\IR_{>0}$.
[/mm]
Gemeint ist vermutlich, echte Untergruppen mit endlichem Index?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Mi 19.11.2008 | | Autor: | pelzig |
ja, natürlich...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:35 Mi 19.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei [mm]\IR^\star=\IR\setminus\{0\}[/mm] die multiplikative Gruppe
> des Körpers der reellen Zahlen. Zeigen sie, dass es genau
> eine Untergruppe [mm]U\subset\IR^\star[/mm] gibt, mit endlichem
> Index, d.h. [mm]|\IR^\star/\;U|[/mm] endlich, gibt.
Vielleicht geht es ja so:
Zeige zuerst, dass es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt mit [mm] $B_\varepsilon(1) [/mm] = [mm] \{ x \in \IR \mid |x - 1| < \varepsilon \} \subseteq [/mm] U$. (Andernfalls kann man sich mit Elementen aus [mm] $\IR \setminus [/mm] U$ beliebig nahe an die $1$ annaehern, was einen Widerspruch gegen den endlichen Index geben sollte.)
(Hier hilft es vielleicht, [mm] $\IR^\ast [/mm] / U$ als zyklisch anzunehmen; dies ist moeglich, da [mm] $\IR^\ast [/mm] / U$ abelsch ist und es somit zu jedem Primteiler von [mm] $[\IR^\ast [/mm] : U]$ eine Untergruppe $V / U$ von [mm] $\IR^\ast [/mm] / U$ mit Index $p$ finden kannst, womit du eine Untergruppe $V$ von [mm] $\IR^\ast$ [/mm] hast mit [mm] $[\IR^\ast [/mm] : V]$ = prim.)
Dann zeige, dass du mit Potenzen von Elementen aus $U$ die Umgebung $U$ so verschieben kannst ($U [mm] \mapsto t^n [/mm] U$ fuer $t [mm] \in [/mm] U$, $n [mm] \in \IZ$), [/mm] dass du ganz [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] ueberdeckst.
Damit gilt dann [mm] $\IR_{>0} \subseteq [/mm] U$, womit $U$ nur [mm] $\IR^\ast$ [/mm] oder [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] sein kann.
LG Felix
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