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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass weder das Koordinatenachsenkreuz [mm] K=\{(x,y)\in\IR^2 | xy=0\} [/mm] noch die Menge [mm] M=\{(x,y)\in\IR^2 | x^3=y^2\} [/mm] 1-dim. Untermannigfaltigkeiten des [mm] \IR^2 [/mm] sind. |
Zu obige Aufgabe habe ich eine Frage und zwar war meine erste Idee, dass ich die Aufgabe mit der Definition für Untermannigfaltigkeiten aus der Vorlesung lösen möchte:
Eine Teilmenge M [mm]\subset \IR^n[/mm] heißt k-dim. Untermannigfaltigkeit der Klasse [mm]C^l[/mm] falls es zu jedem Punkt [mm]a\inM[/mm] eine offene Umgebung U von a in [mm]\IR^n[/mm] gibt und [mm]C^l-Funktionen f_1,...,f_{n-k}:U\to\IR,[/mm] so dass
(i) [mm]M\capU=\{x\inU: f_1(x)=...=f_{n-k}(x)=0 \}[/mm]
(ii) rang [mm](\bruch{\partial(f_1,...,f_{n-k})}{\partial(x_1,...,x_n)}(a))=n-k[/mm]
[mm] K=\{(x,y)\in \IR^2 | xy=0\} [/mm] d.h. f(x,y)=xy und somit gradf(x,y)=(y,x)
[mm] rang(\bruch{\partial f}{\partial(x,y)})=rang(y,x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x,y\not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x=y=0 \end{cases}
[/mm]
Da nach (ii) aber für alle a gelten muss rang = n-k ist also hier 2-1=1 habe ich einen Widerspruch für x=y=0.
Für die Menge M würde ich den Beweis analog führen.
Jetzt zu meinen Fragen: Kann ich das so machen? Ist das mathematisch wasserdicht oder hab ich was übersehen?
Was mich nämlich etwas stutzig macht, ich dass wir als Tipp zum Lösen dieser Aufgabe das Schlagwort "Tangentialraum" bekommen haben und diese hab ich hier ja nicht wirklich benutzt.
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 So 05.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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