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| Aufgabe | Vektorraum [mm] S:=R^3 [/mm]
Schiefe Ebene in S mit U:={(x,yz)|x,y,z € R, x+y-z=0}
1) Zeige das U ein UVR ist
2) Basis von U angeben
3) Basis von U zu Basis von S ergänzen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bin neu hier und begrüße euch alle rechtherzlich :)
Hab schon einiges von der Aufgabe gerechnet, bin mir aber nicht sicher, ob das alles so stimmt. Wäre nett, wenn ihr mal drüber schauen könntet.
1) Nullelement: 0+0-0=0 <=> 0=0
2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
[mm] (x_{1}+y_{1}-z_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2})=0
[/mm]
[mm] (x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=0
[/mm]
3) Abgeschlossenheit bezüglich skalarer multiplikation
[mm] \alpha*(x+y-z=0)
[/mm]
[mm] \alphax+\alphay-\alphaz=0
[/mm]
2.) Basis von U angeben
Ich muss also 2 lin. unab. Vektoren finden.
Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie ich aus der Ebenengleichung Vektoren bekomme. Vom Gefühl her würde ich sagen, die Vektoren müssten die Form: (x,y-z) haben. Hierbei bräuchte ich einen Ansatz.
PS: Kriterium für lin. unabh. ist mir klar.
Grüße vom
Daywalker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vektorraum [mm]S:=R^3[/mm]
schöner schreibt sich das so: [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
> Schiefe Ebene in S mit U:={(x,yz)|x,y,z € R, x+y-z=0}
Ich gehe mal davon aus, dass da
[mm] $$U=\{(x,\,y\text{\red{,\;}}z)| x,y,z \in \IR, x+y-z=0\}$$
[/mm]
stehen soll - also ein Vektor aus [mm] $U\,$ [/mm] DREI Komponenten haben wird!
Anstatt des "€ R" (wir handeln hier nicht mit Euronen!) schreibe besser [mm] $\in \IR\,.$
[/mm]
> 1) Zeige das U ein UVR
des [mm] $\IR^3$
[/mm]
> ist
> 2) Basis von U angeben
> 3) Basis von U zu Basis von S ergänzen.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Bin neu hier und begrüße euch alle rechtherzlich :)
> Hab schon einiges von der Aufgabe gerechnet, bin mir aber
> nicht sicher, ob das alles so stimmt. Wäre nett, wenn ihr
> mal drüber schauen könntet.
>
> 1) Nullelement: 0+0-0=0 <=> 0=0
Und wie heißt nun das Nullelement? Es ist die $(0,0,0) [mm] \in \IR^3\,.$
[/mm]
> 2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
Da fehlt sowas wie: Seien [mm] $(x_1,y_1,z_1)$ [/mm] und [mm] $(x_2,y_2,z_2)$ [/mm] beides
Elemente aus [mm] $U\,.$ [/mm]
Dann ist [mm] $(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\,.$
[/mm]
Für das rechtsstehende Element des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist nun zu prüfen, ob es auch
in [mm] $U\,$ [/mm] liegt. Dafür rechnen wir die [mm] $U\,$ [/mm] charakterisierende Eigenschaft
nach:
Wegen [mm] $(x_1,y_1,z_1) \in [/mm] U$ gilt [mm] $x_{1}+y_{1}-z_{1}=0\,,$
[/mm]
analog gilt [mm] $x_{2}+y_{2}-z_{2}=0$ [/mm] wegen [mm] $(x_2,y_2,z_2) \in U\,.$
[/mm]
Daraus folgt
> [mm](x_{1}+y_{1}-z_{1})+(x_{2}+y_{2}-z_{2})=0[/mm]
[mm] $$\gdw$$
[/mm]
> [mm](x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})-(z_{1}+z_{2})=0[/mm]
und das zeigt nun [mm] $(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) \in U\,.$
[/mm]
Denn ohne solch' einen Text schreibst Du da einfach nur irgendeine
Gleichung (mit irgendwelchen Äquivalenzumformungen) hin. Man weiß,
was Du meinst, wenn man eh die Aufgabe selbst lösen kann. Aber Du
sollst sowas auch so formulieren, dass JEDE(R) das nachvollziehen kann!
> 3) Abgeschlossenheit bezüglich skalarer multiplikation
>
> [mm]\alpha*(x+y-z=0)[/mm]
> [mm]\alpha x+\alpha y-\alpha z=0[/mm]
Genau die gleiche Kritik wie oben.
> 2.) Basis von U angeben
>
> Ich muss also 2 lin. unab. Vektoren finden.
> Mir ist allerdings nicht ganz klar, wie ich aus der
> Ebenengleichung Vektoren bekomme. Vom Gefühl her würde
> ich sagen, die Vektoren müssten die Form: (x,y-z) haben.
Nein, sondern die Form [mm] $(x,y,-(x+y))\,.$ [/mm] Warum? Nun:
Für $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] gilt eben $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U$ dann UND NUR dann, wenn
$$x+y-z=0$$
ist.
> Hierbei bräuchte ich einen Ansatz.
Nimm' halt die Form [mm] $(x,y,-(x+y))\,$ [/mm] und spiel' ein bisschen rum, indem
Du [mm] $x,y\,$ [/mm] solange variierst, bis Du offensichtlich zwei linear unabhängige
Vektoren gefunden hast.
Offenbar ist $(1,0,-1) [mm] \in U\,,$ [/mm] schließlich ist $1+0-(1+0)=1-1=0$ und
auch wäre $(2,0,-2) [mm] \in U\,.$ [/mm] Nun ja, leider sind diese beiden (keiner
von beiden ist [mm] $=(0,0,0)\,$!) [/mm] linear abhängig.
Probier halt mal [mm] $y=1\,$ [/mm] ...
> PS: Kriterium für lin. unabh. ist mir klar.
Danach kannst Du das auch formal nachrechnen.
P.S. Alternativ kann man auch sagen, dass [mm] $(1,1,-1)\,$ [/mm] senkrecht auf die
Ebene steht und dann damit zwei geeignete Vektoren suchen. Das ist hier
aber sicher umständlicher, als der oben vorgeschlagene Weg!
Allerdings: Kombiniert man ein wenig, so erkennt man so auch:
Es ist ja $(1,0,-1) [mm] \in [/mm] U$ und $(1,1,-1)$ steht senkrecht auf [mm] $U\,.$ [/mm] Dann
kann man mal das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren berechnen und
weiß sofort, dass ...
Gruß,
Marcel
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