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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Fr 25.04.2008 | | Autor: | k4m1 |
| Aufgabe | | Für den Verkauf von 20 Stück eines Gutes hat Herr D. einen Gewinn von 300 Euro ermittelt. Bestimmen Sie die Gewinnfunktion als Polynom 2. Grades, wenn die Gewinnschwelle bei x=10 Stück und die Gewinngrenze bei x=50 Stück liegt. |
Eigentlich ist die Frage nicht schwer, aber ich komme gerade nicht direkt auf einen Ansatz. Meine Idee wäre jetzt gewesen die vorhandenen Informationen zu einem linearen Gleichungssystem zu formen
[mm] ax^2+bx+c
[/mm]
Die erste Information ist ja, dass bei einem Absatz von 20 der Gewinn 300 Beträgt, die erste Gleichung würde also so aussehen:
400a+20b+c=300
Die beiden anderen Informationen stellen mich schon vor ein kleines Rätsel, Gewinnschwelle ist ja definiert, als der Zeitpunkt bei dem Umsatz und Kosten sich die Wage halten, sprich der Gewinn genau 0 ist, das selbe gilt für die Gewinngrenze. In die quadratische Gleichung eingesetz würde dass dann ja so aussehen:
100a+10b+c=0
2500a+50b+c=0
Ich würde gerne wissen was ihr von diesem herangehen haltet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Für den Verkauf von 20 Stück eines Gutes hat Herr D. einen
> Gewinn von 300 Euro ermittelt. Bestimmen Sie die
> Gewinnfunktion als Polynom 2. Grades, wenn die
> Gewinnschwelle bei x=10 Stück und die Gewinngrenze bei x=50
> Stück liegt.
> Eigentlich ist die Frage nicht schwer, aber ich komme
> gerade nicht direkt auf einen Ansatz. Meine Idee wäre jetzt
> gewesen die vorhandenen Informationen zu einem linearen
> Gleichungssystem zu formen
> [mm]ax^2+bx+c[/mm]
>
> Die erste Information ist ja, dass bei einem Absatz von 20
> der Gewinn 300 Beträgt, die erste Gleichung würde also so
> aussehen:
> 400a+20b+c=300
>
> Die beiden anderen Informationen stellen mich schon vor ein
> kleines Rätsel, Gewinnschwelle ist ja definiert, als der
> Zeitpunkt bei dem Umsatz und Kosten sich die Wage halten,
> sprich der Gewinn genau 0 ist, das selbe gilt für die
> Gewinngrenze. In die quadratische Gleichung eingesetz würde
> dass dann ja so aussehen:
>
> 100a+10b+c=0
> 2500a+50b+c=0
>
> Ich würde gerne wissen was ihr von diesem herangehen
> haltet.
Hallo,
das kannst du leicht selbst überprüfen. Bei einer quadratischen Parabel liegt der Scheitelpunkt (bzw. seine x-Koordinate) genau in der Mitte zwischen beiden Nullstellen.
Da du die beiden Nullstellen ja kennst, kannst du die Gleichung mit Linearfaktoren aufstellen.
Die beiden Nullstellen hat z.B.die Funktion y=(x-10)(x-50). Da aber hier vermutllich nicht f(20)=300 gilt, die Nullstellen aber dort bleiben müsen wo sie sind, kann man nur variieren zu y=a*(x-10)(x-50). Emittle a so, dass f(20)=300 gilt.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 25.04.2008 | | Autor: | k4m1 |
Da f(20)=a*(20-10)(20-50)
-300 ergibt müsste a in diesem Fall -1 ergeben, was auch durchaus Sinn ergibt, da die Parabel nur im [10;50] positiv ist, also nach unten geöffnet sein muss und [mm] x^2 [/mm] eine negatives Vorzeichen besitzen muss.
Deine Erklärung zu der Symetrie der Parabel konnte ich nachvollziehen, die Frage die sich mir stellt ist jedoch, wie du aus den beiden Nullpunkten die Gleichung y=a*(x-10)(x-50) bzw y=(x-10)(x-50) ableiten konntest. Hier wäre eine Erklärung sehr nett.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Du hast es indirekt doch schon selber beantwortet.
Die Gewinnschwelle bezeichnet doch den x- Wert, ab welchem du Gewinn erzielst; du erhälst folglich positive y- Werte.
Die Gewinngrenze legt den x- Wert fest, ab welchem du wieder Verlust machst.
Da du beide Werte gegeben hast, kannst du dir so ganz einfach ein Bild von der Situation machen.
Bei den jeweiligen Punkten 10 und 50 ist die Bilanz jeweils + - 0.
Er macht nur im Bereich von [10;50] Gewinn -> positive y- Werte.
Daraus resultieren halt die Nullstellen.
Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Fr 25.04.2008 | | Autor: | k4m1 |
Wie ich auf die Nullstellen komme ist mir klar, die Frage ist für mich wie ich auf die form y=a*(x-10)(x-50) komme. Bzw. Wie ich aus dem Wissen der Nullstellen bei x=10 und x=50 diese neue Gleichung forme. Wenn mir das noch jemand erklärt, hab ich die Aufgabe auch verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wenn du alle Nullstellen einer Funktion gegeben hast, seien sie nun mal a, b und c, so kannst du dir durch Ausmultiplizieren der Linearfaktorzerlegung die Gleichung erstellen.
Das wäre dann (x-a)*(x-b)*(x-c)
Du kennst das Prinzip bestimmt von Polynomdivision her, wo man ja quasi auch durch das "Teilen durch eine Nullstelle" einen Linearfaktor "ausklammert".
Wenn du nachher wieder alle Linearfaktoren miteinander multiplizierst, erhälst du wieder die Ausgangsgleichung.
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Fr 25.04.2008 | | Autor: | k4m1 |
Vielen Dank für die Hilfe, ich hab den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen!
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