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| Aufgabe | Reihe auf kovergenz untersuchen
[mm] a_{n}=\bruch{3^n}{n*2^n}; a_{n+1}=\bruch{3^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}} [/mm] |
Mein Problem ist nun die Umformung:
ich bin nun so weit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3^{n+1}n2^n}{3^n*(n+1)2^{n+1}}= \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3}{2}\bruch{1^{n+1}n2^n}{3^n(n+1)1}
[/mm]
wie komm ich nun weiter? habe ich überhaupt richtig vereinfacht
Gruß niesel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Sa 11.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hi!
Zu deiner Umformung: das was auf der linken Seite steht ist nicht die Folge, die du auf Konvergenz untersuchen sollst. Die Umformung ist dann nicht richtig. Man könnte höchstens so was machen:
[mm] \bruch{3^{n}}{n2^{n}}=\bruch{1}{n}*(\bruch{3}{2})^{n}.
[/mm]
Übrigens das Limeszeichen bedeutet, dass die Folge konvergiert, was du am Anfang der Untersuchung nicht wissen kannst, also sollte es man am Besten erst am Ende der Untersuchung schreiben.
Die Folge ist divergent, versuch zu zeigen, dass sie nach oben nicht beschränkt ist.
Gruß,
dormant
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nur ist es so, dass ich hier einfach das Quotientenkriterium angewendet habe und es ein Beispiel aus dem Buch ist. Dort wid geschrieben, dass die Folge konvergent ist, da der Grenzwert gegen 0 geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Sa 11.03.2006 | | Autor: | dormant |
Bist du sicher, dass du die Folge aus dem Buch richtig ins Forum abgeschrieben hast?
Die Folge [mm] a_{n}:=\bruch{3^{n}}{n*2^{n}} [/mm] ist monoton wachsend, was man am Einfachsten durch Induktion zeigen kann, und ist daher divergent, d.h der Grenzwert ist [mm] +\infty. [/mm] Versuch mal [mm] a_{650} [/mm] auszurechnen.
Gruß,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Sa 11.03.2006 | | Autor: | taura |
Hallo nieselfriem!
Wie dormant schon geschrieben hat: Die Folge [mm] $a_n=\br{3^n}{n*2^n}$ [/mm] ist keine Nullfolge, daher kann die Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\br{3^n}{n*2^n}$ [/mm] nicht konvergent sein.
Zur Begründung: Die Folge ist ab n=2 monoton wachsend:
[mm] $\br{3^n}{n*2^n}\le\br{3^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}}$
[/mm]
[mm] $\gdw\br{2}{n}\le\br{3}{n+1}$
[/mm]
[mm] $\gdw 2*(n+1)\le [/mm] 3n$
[mm] $\gdw 2\le [/mm] n$
Da die Folge an jeder Stelle größer 0 ist und ab einem bestimmten [mm] $n_0$ [/mm] monoton wachsend ist kann es sich also nicht um eine Nullfolge handeln.
Ich hoffe das hilft dir weiter 
Gruß taura
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ok ihr habt recht! Ich depp aber wie kommst du von
[mm] $\br{3^n}{n*2^n}\le\br{3^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}}$
[/mm]
zu
[mm] $\gdw\br{2}{n}\le\br{3}{n+1}$ [/mm] ?
Gruß niesel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Sa 11.03.2006 | | Autor: | taura |
Hallo!
[mm]\br{3^n}{n*2^n}\le\br{3^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}}\qquad \qquad \qquad \qquad \left|\ *\br{2^{n+1}}{3^{n}}\right[/mm]
[mm] $\gdw \br{3^n*2^{n+1}}{n*2^n*3^n} \le \br{3^{n+1}*2^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}*3^n}$
[/mm]
[mm] $\gdw \br{3^n*2^{n}*2}{n*2^n*3^n} \le \br{3^{n}*3*2^{n+1}}{(n+1)*2^{n+1}*3^n}$
[/mm]
[mm]\gdw\br{2}{n}\le\br{3}{n+1}[/mm]
Alles klar?
Gruß taura
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Ich danke euch beiden für eure Geduld. In Sachen Mathe bin ich nämlich etwas dümmlich, nur leider muß ich es machen ;). Wünsch euch noch nen schöne WE
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