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Guten Morgen,
[mm] \integral_{}^{}{1/(1+cos²(x/2)) dx}
[/mm]
ich bearbeite gerade ein paar Matheaufgaben und habe auch die Lösungen dazu.
Bei der Aufgabe ging es darum, das Integral zu bilden mit Substitution.
Substituion:
x=2arctan(t)
....Rechnung....man erhält:
[mm] \integral_{}^{}{(2/(2+t²) dt}
[/mm]
Aber wie kommt man darauf, dass das Integral von 2/(2+t²) = [mm] 2/\wurzel{2} [/mm] * [mm] arctan(t/\wurzel{2}) [/mm] ist.
und meine zweite Frage.
wenn man nun zurücksubstituieren will, dann muss man ja t einsetzen.
[mm] 2/\wurzel{2}*arctan(tan(x/2)/ \wurzel{2}
[/mm]
wie kommt man denn auf tan(x/2).
Wäre echt toll, wenn mir jemand das erklären könnte.
Grüße
ichonline
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Hallo ichonline,
> Guten Morgen,
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> [mm]\integral_{}^{}{1/(1+cos²(x/2)) dx}[/mm]
>
> ich bearbeite gerade ein paar Matheaufgaben und habe auch
> die Lösungen dazu.
> Bei der Aufgabe ging es darum, das Integral zu bilden mit
> Substitution.
>
> Substituion:
> x=2arctan(t)
>
> ....Rechnung....man erhält:
>
> [mm]\integral_{}^{}{(2/(2+t²) dt}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
ich komme mit der oben erwähnten Substitution auf [mm] $\int{\frac{2}{(1+t^2)^2} \ dt}$
[/mm]
>
> Aber wie kommt man darauf, dass das Integral von 2/(2+t²) =
> [mm]2/\wurzel{2}[/mm] * [mm]arctan(t/\wurzel{2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist.
Klammere im Nenner 2 aus: $\int{\frac{2}{2+t^2} \ dt}=\int{\frac{2}{2\left(1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}\right)^2\right)} \ dt}=\int{\frac{1}{1+\left(\frac{t}{\sqrt{2}\right)^2} \ dt$
Und hier siehst du es entweder oder du substituierst $u:=\frac{t}{\sqrt{2}}$
>
> und meine zweite Frage.
> wenn man nun zurücksubstituieren will, dann muss man ja t
> einsetzen.
> [mm]2/\wurzel{2}*arctan(tan(x/2)/ \wurzel{2}[/mm]
> wie kommt man
> denn auf tan(x/2).
Mit der Substitution [mm] $x=2\arctan(t)$ [/mm] ist [mm] $\frac{x}{2}=\arctan(t)$ [/mm] Nun auf beiden Seiten [mm] $\tan$ [/mm] anwenden:
[mm] $\Rightarrow \tan\left(\frac{x}{2}\right)=t$
[/mm]
Aber es ist irgendwie nicht stimmig, denn dein Ergebnis der Umrechnung nach der Substitution stimmt nicht, es kommt schlussendlich eine ziemlich hässliche Stammfunktion heraus:
[mm] $\int{\frac{1}{1+\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx}=\frac{x}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}\arctan\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)+2\sqrt{2}+3}\right)$
[/mm]
Das sagt zumindest DERIVE 
> Wäre echt toll, wenn mir jemand das erklären könnte.
>
> Grüße
> ichonline
>
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 So 26.10.2008 | | Autor: | ichonline |
okay erstmal danke schön:)
also ist der tan(arctan(t))=t?
wahrscheinlich weil der arctan die Umkerhfunktion des tan ist, oder?
hm ja mit derive 6 komme ich auch auf ein anderes ergebniss.
grüße Julia
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