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Umformung einer Folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Mi 20.01.2016
Autor: smilow

Aufgabe
Berechnen sie den Grenzwert der Folge
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n [/mm]

Hallo,

ich habe eine Frage zu einer Umformung für eine Grenzwertberechnung.

Meine Ausgangsfolge ist:
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n [/mm]

Das wird dann laut Lösung umgeformt zu:
[mm] \limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^{\bruch{n}{ln2}ln2} [/mm]

Außerdem ist das dann:

[mm] =\limes_{m\to \infty}((1+ \bruch{1}{m})^m)^{-ln2} [/mm]

Und das ist:

[mm] =e^{-ln2} [/mm]

Wäre super wenn jemand dazu eine kurze Erklärung hätte bzw. ein paar Anregungen.

Vielen Dank im Vorraus

Gruß smilow

        
Bezug
Umformung einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Mi 20.01.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Berechnen sie den Grenzwert der Folge
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n[/mm]
> Hallo,

>

> ich habe eine Frage zu einer Umformung für eine
> Grenzwertberechnung.

>

> Meine Ausgangsfolge ist:
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^n[/mm]

>

> Das wird dann laut Lösung umgeformt zu:
> [mm]\limes_{n \to \infty}(1- \bruch{ln2}{n})^{\bruch{n}{ln2}ln2}[/mm]


Hier erweiterst du den Exponenten mit [mm] \ln(2) [/mm]


>

> Außerdem ist das dann:

>

> [mm]=\limes_{m\to \infty}((1+ \bruch{1}{m})^m)^{-ln2}[/mm]

Hier wendest du ein Potenzgesetz an.

>

> Und das ist:

>

> [mm]=e^{-ln2}[/mm]

Nun solltest du noch wissen, dass
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}=e [/mm]
bzw sogar
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{x}{k}\right)^{k}=e^{x} [/mm]
Diese Grenzwerte musst du dir unbedingt merken.
Mit dem letzten Grenzwert bekommst du dann sogar direkt den Grenzwert heraus, denn

[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\ln(2)}{n}\right)^{n} [/mm]
[mm] =\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{-\ln(2)}{n}\right)^{n} [/mm]
[mm] =e^{-\ln(2)} [/mm]

>

> Wäre super wenn jemand dazu eine kurze Erklärung hätte
> bzw. ein paar Anregungen.

>

> Vielen Dank im Vorraus

>

> Gruß smilow

Marius

Bezug
                
Bezug
Umformung einer Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Mi 20.01.2016
Autor: smilow

Stimmt Danke!

Hab den Grenzwert mit Euler nicht beachtet.. Dabei steht der sogar auf meinem Formelzettel.

Damit hat sich das dann auch schon erledigt...

Danke :)

Bezug
        
Bezug
Umformung einer Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Mi 20.01.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das wesentliche hat dir Marius ja bereits dargelegt.
Du kannst hier aber sogar noch weiter zusammenfassen, es gilt nämlich:

[mm] $e^{-\ln(2)} [/mm] = [mm] e^{\ln(2^{-1})} [/mm] = [mm] 2^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
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