Umformung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Reihe konvergiert und berechnen Sie ihren wert.
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^n} [/mm] |
Hallo zusammen, ich habe zu der o. g. Reihe eine Lösung die ich nicht nachvollziehen kann. Zunächst eine Frage zur Umformung - wie konnte man wie folgt umformen?
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(3+(-1)^n)^n} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{2n+1}} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{2n}}
[/mm]
Weiß vielleicht jemand wie man in diesem Fall umgeformt hat? Ich komme beim besten Willen nicht auf diese Lösung. Vielen vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sauri!
Hier wurden die geraden und ungeraden [mm]n_[/mm] getrennt betrachtet:
[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{\left(3+(-1)^n\right)^n} \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\left[ \bruch{1}{\left(3+(-1)^{2k}\right)^{2k}}+ \bruch{1}{\left(3+(-1)^{2k+1}\right)^{2k+1}}\right] \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\left[ \bruch{1}{(3+(+1))^{2k}}+ \bruch{1}{(3+(-1))^{2k+1}}\right] \ = \ \summe_{k=0}^{\infty}\left[ \bruch{1}{4^{2k}}+ \bruch{1}{2^{2k+1}}\right] \ = \ \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2^{2n+1}}+ \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{4^{2n}}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo, vielen vielen Dank für die Hilfe! Den Trick kannte ich ja mal garnicht. Mal gucken, ob ich die Aufgabe jetzt lösen kann!
Viele Grüße!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 So 06.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Hallo zusammen also konnte jetzt dank des "Tricks" auf das gleiche Ergebnis kommen. Das Ergebnis/Grenzwert der Reihe lautet also [mm] \bruch{16}{25}.
[/mm]
Wie zeige ich denn jetzt, das eben diese Reihe konvergiert? Was wähle z.B.: als N?
Vielen Dank für die Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:15 So 06.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Hier wurde natürlich nicht der Grenzwert ausgerechnet, sonder die Summe der beiden Reihen.
Löst man diese Aufgabe mit dem Leibnizkriterium?
Viele Grüße!
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Hallo Sauri,
> Hallo zusammen also konnte jetzt dank des "Tricks" auf das
> gleiche Ergebnis kommen. Das Ergebnis/Grenzwert der Reihe
> lautet also [mm]\bruch{16}{25}.[/mm]
Fehlt da nicht noch der Anteil aus dem anderen Teil der Reihe, also von [mm] $\sum\limits_{n\ge 0}\frac{1}{4^{2n}}$
[/mm]
(nach Loddars Antwort)
>
> Wie zeige ich denn jetzt, das eben diese Reihe konvergiert?
Das hast du doch durch Angabe des Reihenwertes getan, der ist (zwar noch falsch, aber) endlich.
> Was wähle z.B.: als N?
Für einen reinen Konvergenznachweis würde man hier nicht über die Definition "Folgen-GE" gehen, sondern etwa das Wurzelkriterium heranziehen ...
>
> Vielen Dank für die Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 So 06.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Also ich fasse mal kurz die Lösung zusammen:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{16}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] + [mm] \bruch{16}{15} [/mm] = [mm] \bruch{26}{15}
[/mm]
Wurzelkriterium haben wir leider nicht gemacht komischerweise. Wir haben nur Leibniz-, Quotienten- und Majorantenkriterium zur Verfügung.
Die ersten Werte der Reihe ergeben:
sn = 1 + 1/2 + 1/42 + 1/23 + 1/44 + 1/25 + 1/46 + ...
Reicht dies schon aus, um aus dem Leibnizkriterium die Konvergenz zu folgern?
Vielen Dank für die Hilfe!
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Hallo nochmal,
> Also ich fasse mal kurz die Lösung zusammen:
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{1-\bruch{1}{16}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm] + [mm]\bruch{16}{15}[/mm]
> = [mm]\bruch{26}{15}[/mm]
Ähh, ja, ich kann nicht rechnen ...
Du hast nat. vollkommen recht!
>
> Wurzelkriterium haben wir leider nicht gemacht
> komischerweise. Wir haben nur Leibniz-, Quotienten- und
> Majorantenkriterium zur Verfügung.
> Die ersten Werte der Reihe ergeben:
> sn = 1 + 1/2 + 1/42 + 1/23 + 1/44 + 1/25 + 1/46 + ...
>
> Reicht dies schon aus, um aus dem Leibnizkriterium die
> Konvergenz zu folgern?
Nein, Leibniz kannst du nicht anwenden, du hast keine alternierende Reihe ... [mm] ($\sum\limits_{n\ge 1}(-1)^n\cdot{}a_n$)
[/mm]
Den Nachweis der Konvergenz hast du durch Angabe/Berechnung des Reihenwertes eigentlich schon gemacht.
Wenn du trotzdem noch die Konvergenz separat zeigen möchtest und nicht das WK benutzen kannst/darfst, sollte m.E. das Majorantenkrit. genauso funktionieren ...
Wie könnte eine konvergente Majorante aussehen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 So 06.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Kann ich als Majorante [mm] \bruch{1}{q^n} [/mm] wählen?
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Hallo nochmal,
> Kann ich als Majorante [mm]\bruch{1}{q^n}[/mm] wählen?
Ja, mit passendem $q$.
Welchem nämlich?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 06.01.2013 | | Autor: | Sauri |
Für |q| > 1 ! Vielen vielen Dank noch mal für die Hilfe!
Eine letzte Frage, die Aufgabe oben ist eine alte Klausuraufgabe. Wie würde ich denn hier den Beweis korrekt aufschreiben? Würde jetzt folgendes gehen:
[mm] \summe_{i=1}^{n}|a_k| \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{q^n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Vielen vielen Dank an dieser Stelle!!!
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Hallo nochmal,
> Für |q| > 1 !
Ja, aber konkret?
Du musst schon eine passende Zahl einsetzen.
Was gibt die Ausgangsreihe den her?
> Vielen vielen Dank noch mal für die Hilfe!
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> Eine letzte Frage, die Aufgabe oben ist eine alte
> Klausuraufgabe. Wie würde ich denn hier den Beweis korrekt
> aufschreiben? Würde jetzt folgendes gehen:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}|a_k| \le \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{q^n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
i, k und n bunt gemischt ...
Das würde ich in einer Klausur besser nicht machen 
Einfach nur die konvergente Majorante angeben: [mm]\sum\limits_{n\ge 0}\frac{1}{(3+(-1)^n)^n} \ \le \ \sum\limits_{n\ge 0}\frac{1}{q^n}[/mm]
Mit konketem [mm]q[/mm], also einer Zahl!
Und dass die Majorante konvergiert, ist klar; das kannst du in der Klausur dann mit nem Hinmweis auf die geometrische Reihe abtun.
Einen Beweis über die [mm]\varepsilon[/mm]-Definition brauchst du gar nicht, es sei denn, es ist ausdrücklich verlangt.
Es gibt doch genügend Konvergenzkriterien für Reihen, die ersparen einem diese Plackerei ...
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> Vielen vielen Dank an dieser Stelle!!!
Jo, gerne
schachuzipus
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