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Hallo,
ich verstehe die eine Umformung nicht. Hier die Schritte, die ich noch verstehe:
f(n) = n [mm] (\wurzel[n]{a} [/mm] - 1) für alle n [mm] \in \IN [/mm] und mit a > 0.
f(n) = n [mm] (e^{\frac{1}{n}ln(a)} [/mm] - 1) = n [mm] (e^{\frac{1}{n}ln(a)} [/mm] - 1) = n ( 1 + [mm] \frac{ln(a)}{n} [/mm] + [mm] (\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(\frac{1}{n} ln(a))^k}{k!}) [/mm] - 1
Und jetzt setzt es bei mir aus:
= ln(a) + [mm] (\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} (\frac{1}{n})^{k-1})
[/mm]
Mir stößt nur das [mm] (\frac{1}{n})^{k-1} [/mm] ein wenig auf. Ich würde da lediglich [mm] (\frac{1}{n})^k [/mm] rausziehen. wieso aber [mm] (\frac{1}{n})^{k-1}?
[/mm]
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Hallo,
> Hallo,
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> ich verstehe die eine Umformung nicht. Hier die Schritte,
> die ich noch verstehe:
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> f(n) = n [mm](\wurzel[n]{a}[/mm] - 1) für alle n [mm]\in \IN[/mm] und mit a >
> 0.
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> f(n) = n [mm](e^{\frac{1}{n}ln(a)}[/mm] - 1) = n
> [mm](e^{\frac{1}{n}ln(a)}[/mm] - 1) = n ( 1 + [mm]\frac{ln(a)}{n}[/mm] +
> [mm](\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(\frac{1}{n} ln(a))^k}{k!})[/mm] -
> 1
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> Und jetzt setzt es bei mir aus:
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> = ln(a) + [mm](\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} (\frac{1}{n})^{k-1})[/mm]
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> Mir stößt nur das [mm](\frac{1}{n})^{k-1}[/mm] ein wenig auf. Ich
> würde da lediglich [mm](\frac{1}{n})^k[/mm] rausziehen. wieso aber
> [mm](\frac{1}{n})^{k-1}?[/mm]
Weil das n vor der Klammer in die Summe mit hinein multipliziert wurde.
[mm]f \left ( n \right )=\ln \left ( a \right ) + n \left (\summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} * \bruch{1}{n^k}\right )
= \ln \left ( a \right ) + \summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} * \bruch{n}{n^k}[/mm]
[mm]=\ln \left ( a \right ) + \summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} * \bruch{1}{n^{k-1}}
=\ln \left ( a \right ) + \summe_{k=2}^{\infty} \frac{(ln(a))^k}{k!} * \left ( \bruch{1}{n} \right ) ^{k-1}[/mm]
Gruß
MathePower
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