Umformung von Kreuzprodukt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Di 24.10.2006 | | Autor: | Daddy |
| Aufgabe | Die Vektoren a,b und der Skalar s seien bekannt. Man bestimme aus den Gleichungen:
x [mm] \times [/mm] a = b und x [mm] \* [/mm] a = s
den Vektor x. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
komme bei der Aufgabe überhaupt nicht weiter und weiß nichts damit anzufangen. Ausrechnen kann ich ein Kreuzprodukt, ebenso normale Gleichungen umstellen, aber ich hab keine Ahnung, wie ich eine Gleichung mit Kreuzprodukt / Skalarprodukt und Vektoren umstellen soll.
Bin für jede Hilfe dankbar.
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Wegen der Antikommutativität gilt
[mm]\vec{a} \times \vec{x} = - \vec{b}[/mm]
Kreuzproduktmultiplikation mit [mm]\vec{a}[/mm] von links liefert:
[mm]\vec{a} \times \left( \vec{a} \times \vec{x} \right) = - \vec{a} \times \vec{b}[/mm]
Und jetzt verwende die ![[]](/images/popup.gif) Graßmann-Identität.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:05 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Daddy |
Danke dir schonmal.. also ich komm denn auf a(a*x) - x(a*a) = -a x b
mmh, nur wie kann ich die Formel jetzt nach x umstellen?
Ich möchte ja den Vektor x herausbekommen und nicht seinen Betrag.
Wenn ich aber versuche aufzulösen kommt bei mir auf der linken Seite null heraus, und rechts bleibt nur -a x b über und es ist unmöglich auf den Vektor x zu schliessen.
Kann man das irgendwie bewerkstelligen ?
Bei der zweiten Teilaufgabe (Skalarmultiplikation) komm ich übrigens auch keinen Schritt weiter, weil ich ja auch wieder den Vektor herausbekommen möchte.
Langsam verzweifel ich richtig, kann man die Aufgaben überhaupt anhand der Fragestellung lösen und ist es nicht einzig möglich den Betrag von x zu errechnen ?
Danke nochmal,
Lg
Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Mi 25.10.2006 | | Autor: | statler |
Hey Daddy!
Kann es sein, daß du die Aufgabe falsch interpretierst? Das sind nicht 2 Teilaufgaben, sondern es ist ein Vektor x gesucht, für den beides gleichzeitig gilt (denk ich mal). Wenn sonst nix geht, kann man die Aufg. in ein LGS verwandeln und dann weitersehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Daddy |
Hi Dieter, danke für deine Hilfe.
Kann natürlich sein, daß nur nach einem Vektor x gefragt ist, der beide Gleichungen erfüllt. Vielleicht steht deshalb auch in der Aufgabenstellung, daß man aus beiden Gleichungen den Vektor und nicht die Vektoren herausfinden soll.
Hab aber leider immer noch ein Brett vor dem Kopf.
Selbst wenn nur nach einem Vektor gefragt ist, frage ich mich, wie ich den errechnen soll.
Gut, probieren wirs über LGS.. denn hab ich die erste GL
x x a = b per Graßmann-ID. umgeformt nach
a(a*x) - x(a*a) = -a x b und die zweite übernommen
x*a = s
(a,b,x Vektoren ; s Skalar)
LGS mit Kreuprodukt kenn ich noch nicht, deswegen steh ich vollends auf dem Schlauch.
Kannst du mir netterweise einen Schubs geben ? :)
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 25.10.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib das Kreuzprodukt Komponentenweise ergibt 3 Gl. dann noch das Skalarprodukt in Komponentenschreibweise gibt ne 4. Gl. such ne Lösung.
Weitere Möglichkeit: s/|a|= Komponente von x in Richtung a, |b|/|a|=Komponente senkrecht zu a
Gruss leduart.
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Wieso macht ihr das so umständlich? Nach Voraussetzung sind die Vektoren [mm]\vec{a},\vec{b}[/mm] und der Skalar [mm]s[/mm] bekannt. Ich beginne wie in meinem ersten Beitrag:
[mm] \vec{a} \times \vec{x} [/mm] = - [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm]\vec{a} \times \left(\vec{a} \times \vec{x} \right) = - \vec{a} \times \vec{b}[/mm]
Und mit der Graßmann-Identität folgt:
[mm]\left( \vec{a} \, \vec{x} \right) \, \vec{a} - \left( \vec{a} \, \vec{a} \right) \vec{x} = - \vec{a} \times \vec{b}[/mm]
Nach Vorausetzung ist [mm]\vec{a} \, \vec{x} = s[/mm], so daß man weiter folgert:
[mm]s \, \vec{a} - \vec{a}^{\, 2} \, \vec{x} = - \vec{a} \times \vec{b}[/mm]
Und wenn, was wir kühn voraussetzen, [mm]\vec{a}[/mm] nicht gerade der Nullvektor ist, kann man diese Gleichung sofort nach [mm]\vec{x}[/mm] auflösen:
[mm]\vec{x} = \frac{1}{\vec{a}^{\, 2}} \left( \vec{a} \times \vec{b} + s \, \vec{a} \right)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Mi 25.10.2006 | | Autor: | Daddy |
Super, ich danke euch vielmals.. diese komische Aufgabe hat mich scho genug Zeit gekostet.
Hab aber viel daraus gelernt.
LG Björn
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Du kannst die Formel ja auch einmal an einem Beispiel testen:
[mm]\vec{x} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\vec{x} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} = 13[/mm]
Bestimme [mm]\vec{x}[/mm] nach der Formel und mache die Probe.
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