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| Aufgabe | Ein gedämpfter harmonischer Oszillator genügt der Differentialgleichung [mm] x''+2\mu*x+\omega^2*x=0 [/mm] mit [mm] \omega>\mu>0.
[/mm]
Lösen Sie die Differentialgleichung für x(t) mit den Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=u
Zeigen Sie, dass die Zeiten an denen der Körper zum stillstand kommt gegeben sind durch [mm] \wurzel{\omega^2-\mu^2}*t_{n}=n*\pi-\alpha [/mm] mit [mm] cos(\alpha)=\bruch{-\mu}{\omega}.
[/mm]
Zeigen Sie außerdem, dass die Position zu der jeweiligen Zeit gegeben ist durch [mm] (-1)^{n+1}\bruch{u}{\omega}*exp(-\mu*t_{n}).
[/mm]
Zeigen Sie mithilfe dieses Ausdrucks, dass [mm] x(t_{n})*x(t_{n+2})=x(t_{n+1})^2 [/mm] |
Hi,
also gelöst habe ich die DGL. Auch korrekt laut meinem Prof. Probleme ich kriege ich ab dem Ausdruck [mm] \wurzel{\omega^2-\mu^2}*t_{n}=n*\pi-\alpha [/mm] .
Mein Professor hat, um darauf zu kommen, wie folgt umgeformt. Der Körper ruht, wenn die erste Ableitung der Bewegungsgleichung eine Nullstelle hat, also:
x'(t)=0
Die Lösung der DGL war:
[mm] x(t)=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*sin(\Omega*t) [/mm] mit [mm] \Omega=\wurzel{\omega^2-\mu^2}.
[/mm]
Die Ableitung:
[mm] x'(t)=0=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*(-\mu*sin(\Omega*t)+\Omega*cos(\Omega*t))
[/mm]
von dort geht er zu:
[mm] x'(t)=\bruch{u*\omega}{\Omega}*exp(-\mu*t)*sin(\Omega*t+\alpha) [/mm]
Woher kommt diese Umformung ? Das verstehe ich nicht, kann mir jemand helfen ?
Danke,
exe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Di 16.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Ein gedämpfter harmonischer Oszillator genügt der
> Differentialgleichung [mm]x''+2\mu*x+\omega^2*x=0[/mm] mit
> [mm]\omega>\mu>0.[/mm]
> Lösen Sie die Differentialgleichung für x(t) mit den
> Anfangsbedingungen x(0)=0 und x'(0)=u
> Zeigen Sie, dass die Zeiten an denen der Körper zum
> stillstand kommt gegeben sind durch
> [mm]\wurzel{\omega^2-\mu^2}*t_{n}=n*\pi-\alpha[/mm] mit
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{-\mu}{\omega}.[/mm]
> Zeigen Sie außerdem, dass die Position zu der jeweiligen
> Zeit gegeben ist durch
> [mm](-1)^{n+1}\bruch{u}{\omega}*exp(-\mu*t_{n}).[/mm]
> Zeigen Sie mithilfe dieses Ausdrucks, dass
> [mm]x(t_{n})*x(t_{n+2})=x(t_{n+1})^2[/mm]
> Hi,
>
> also gelöst habe ich die DGL. Auch korrekt laut meinem
> Prof. Probleme ich kriege ich ab dem Ausdruck
> [mm]\wurzel{\omega^2-\mu^2}*t_{n}=n*\pi-\alpha[/mm] .
>
> Mein Professor hat, um darauf zu kommen, wie folgt
> umgeformt. Der Körper ruht, wenn die erste Ableitung der
> Bewegungsgleichung eine Nullstelle hat, also:
>
> x'(t)=0
>
> Die Lösung der DGL war:
>
> [mm]x(t)=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*sin(\Omega*t)[/mm] mit
> [mm]\Omega=\wurzel{\omega^2-\mu^2}.[/mm]
>
> Die Ableitung:
>
> [mm]x'(t)=0=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*(-\mu*sin(\Omega*t)+\Omega*cos(\Omega*t))[/mm]
>
> von dort geht er zu:
>
> [mm]x'(t)=\bruch{u*\omega}{\Omega}*exp(-\mu*t)*sin(\Omega*t+\alpha)[/mm]
Hallo,
wenn man zwei Sinusfunktionen mit gleicher Amplitude und unterschiedlicher Phasenlage addiert (z.B. [mm] sin\alpha [/mm] + [mm] \sin(\alpha+\beta)), [/mm] erhält man als Summe wieder eine Sinusfunktion mit irgendeiner resultierenden Amplitude, die phasenmäßig ein Stück gegen die beiden Ausgangsfunktionen verschoben ist.
Nun ist ja die Kosinusfunktion nichts weiter als eine um 90° verschobene Sinusfunktion.
Was ich dir NICHT erklären kann: die beiden Funktionen haben verschiedene Amplituden [mm] (\mu [/mm] und [mm] \Omega).
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Woher kommt diese Umformung ? Das verstehe ich nicht, kann
> mir jemand helfen ?
>
> Danke,
>
> exe
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Hi abakus,
danke für deine antwort.
Hast Du denn eine Idee wie man vielleicht trotzdem zum ergebnis kommen kann ? Also [mm] \Omega*t_{n}=n*\pi-\alpha [/mm] ?
Es muss ja irgendwie zu machen sein, eventuell ausgehend von der Gleichung die ich für die Ableitung erhalte ? (Stimmt mit der Lösung überein).
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 16.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Es muss ja irgendwie zu machen sein, eventuell ausgehend
> von der Gleichung die ich für die Ableitung erhalte ?
> (Stimmt mit der Lösung überein).
Also ich hab nachgeschaut, es funktioniert. ;) Man macht einen Umweg über das Komplexe:
[m]a*\sin(t)+b*\cos(t)=a*Re(e^{i*t})+b*Im(e^{i*t})=a*Re(e^{i*t})+b*Re(-i*e^{i*t})=Re((a-i*b)*e^{i*t})=y*\cos(x)[/m] mit geeigneten rellen x und y.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Di 16.02.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Nur der vollständigkeit halber: Ich habe es auch selbst herausgefunden und zwar geht es so :
Geben ist [mm] x'(t)=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*(-\mu*sin(\Omega*t)+\Omega*cos(\Omega*t))
[/mm]
Das wollen wir jetzt in folgender Form schreiben:
[mm] x'(t)=\bruch{\mu}{\Omega}*exp(-\mu*t)*(A*sin(\Omega*t+\alpha)
[/mm]
Wenn wir uns zu nutze machen, dass
[mm] A*sin(\Omega*t+\alpha)=A*sin(\Omega*t)*cos(\alpha)+A*cos(\Omega*t)*sin(\alpha)
[/mm]
Dann muss ja, damit sich eine Gleichheit ergibt
[mm] A*sin(\alpha)=\Omega [/mm] und [mm] A*cos(\alpha)=-\mu [/mm] sein.
quadrieren und Addieren wir das ganze, dann ergibt sich:
[mm] A=\wurzel{\Omega^2+\mu^2} [/mm] und das ist laut meiner Definition von oben [mm] \omega.
[/mm]
Damit wäre alles gezeigt :)
Lg und danke für eure Mühe,
exe
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