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| Aufgabe | Hallo, ich bin neu hier.
Ich versuche gerade einen Beweis für mein Seminar zu verstehen und komme an einer Stelle nicht weiter. Schätzungsweise weil ich damals bei Einheitswurzeln im Stoff abgehängt wurde.
Die Voraussetzungen sind, dass [mm] \zeta [/mm] die q-te Einheitswurzel in [mm] \mathbb{C} [/mm] ist. Q der Ring [mm] \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} [/mm] ist. Der Vektor x ist aus [mm] Q^n [/mm] und fest gewählt. Die Komponenten [mm] x_{h_1} [/mm] bis [mm] x_{h_j} [/mm] sind von Null verschieden, h_* sind schlicht gewählte Positionen.
Der vorletzte Schritt lautet [mm] (q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)^j (q-1)^{k-j}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also wenn ich das richtig sehe muss demnach für jedes i gelten: [mm] \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)
[/mm]
Der Hinweis ist, dass in dem Beweis die Eigenschaft von Charaktären ausgenutzt wird, was wohl aber einfach nur bedeutet, dass die Einheitswurzel im Komplexen die Eigenschaften eines Charakters hat, und diese ausgenutzt werden.
Aber mir wäre ja schonmal geholfen, wenn ich wüsste, wann so eine Einheitswurzel =-1 ist. Oder suche ich da an einer völlig falschen Stelle?
Liebe Grüße,
tkgraceful
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Mo 21.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo, ich bin neu hier.
Dann: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ich versuche gerade einen Beweis für mein Seminar zu
> verstehen und komme an einer Stelle nicht weiter.
> Schätzungsweise weil ich damals bei Einheitswurzeln im
> Stoff abgehängt wurde.
>
> Die Voraussetzungen sind, dass [mm]\zeta[/mm] die q-te
Ist $q$ eine Primzahl? Ich nehme das im Folgenden mal an.
> Einheitswurzel in [mm]\mathbb{C}[/mm] ist.
Dir ist schon klar, dass es nicht nur eine $q$-te Einheitswurzel gibt, sondern $q$? Du meinst vermutlich: sei [mm] $\zeta$ [/mm] eine $q$-te Einheitswurzel.
> Q der Ring
> [mm]\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}[/mm] ist. Der Vektor x ist aus [mm]Q^n[/mm] und
> fest gewählt. Die Komponenten [mm]x_{h_1}[/mm] bis [mm]x_{h_j}[/mm] sind von
> Null verschieden, h_* sind schlicht gewählte Positionen.
Schlich hat hier keine mathematische Bedeutung, oder?
> Der vorletzte Schritt lautet [mm](q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)^j (q-1)^{k-j}[/mm]
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> also wenn ich das richtig sehe muss demnach für jedes i
> gelten: [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)[/mm]
Also daraus folgt das obere. Es ist aber nicht (offensichtlich) aequivalent dazu.
Falls $q$ prim ist, ist [mm] $\{ x_{h_i} y \mid y \in Q \setminus \{ 0 \} \} [/mm] = Q [mm] \setminus \{ 0 \}$. [/mm] Dann waer die Summe gleich [mm] $\sum_{y \in Q \setminus \{ 0 \}} \zeta^y [/mm] = [mm] \sum_{y=0}^{q-1} \zeta^y [/mm] - 1$. Angenommen, dass [mm] $\zeta \neq [/mm] 1$ ist (weil es z.B. eine primitive $q$-te Einheitswurzel ist), hast du dann [mm] $\sum_{y=0}^{q-1} \zeta^y [/mm] = [mm] \frac{\zeta^q - 1}{\zeta - 1} [/mm] = 0$, und somit kommt genau das heraus was du haben willst.
> Der Hinweis ist, dass in dem Beweis die Eigenschaft von
> Charaktären ausgenutzt wird, was wohl aber einfach nur
> bedeutet, dass die Einheitswurzel im Komplexen die
> Eigenschaften eines Charakters hat, und diese ausgenutzt
> werden.
Nunja, Charaktere nehmen komplexe Einheitswurzeln als Werte an. Nur deswegen haben sie i.A. nicht die gleichen Eigenschaften.
> Aber mir wäre ja schonmal geholfen, wenn ich wüsste, wann
> so eine Einheitswurzel =-1 ist. Oder suche ich da an einer
> völlig falschen Stelle?
Nun, $-1$ ist nur dann eine $q$-te Einheitswurzel, wenn $q$ gerade ist. Und eine primitive $q$-te Einheitswurzel ist es nur fuer $q = 2$. Den Spezialfall [mm] $\zeta [/mm] = -1$ anzuschauen bringt dir also nichts.
LG Felix
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> Moin!
Hi!
> Ist [mm]q[/mm] eine Primzahl? Ich nehme das im Folgenden mal an.
Das weiß ich nicht. Ich glaube es ist verallgemeinert. Es gibt doch einen Ring Z/4Z oder?
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> Dir ist schon klar, dass es nicht nur eine [mm]q[/mm]-te
> Einheitswurzel gibt, sondern [mm]q[/mm]? Du meinst vermutlich: sei
> [mm]\zeta[/mm] eine [mm]q[/mm]-te Einheitswurzel.
mittlerweile ist es mir klar :)
> Schlich hat hier keine mathematische Bedeutung, oder?
>
Nein, ich wollte in meiner naiven Herangehensweise nur deutlich machen, dass es nichts größeres, komplizierteres ist.
> > Der vorletzte Schritt lautet [mm](q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)^j (q-1)^{k-j}[/mm]
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> > also wenn ich das richtig sehe muss demnach für jedes i
> > gelten: [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)[/mm]
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> Also daraus folgt das obere. Es ist aber nicht
> (offensichtlich) aequivalent dazu.
Hm, ja hast recht. Aber angenommen ich haben den Term [mm] (q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}
[/mm]
Dann kann ich doch mit (wie unten) [mm] \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=-1 [/mm] in die Richtung schließen, dass [mm] (q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j -1=(-1)^j (q-1)^{k-j} [/mm] gilt. Oder nicht? Doch, oder?
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> Falls [mm]q[/mm] prim ist, ist [mm]\{ x_{h_i} y \mid y \in Q \setminus \{ 0 \} \} = Q \setminus \{ 0 \}[/mm].
> Dann waer die Summe gleich [mm]\sum_{y \in Q \setminus \{ 0 \}} \zeta^y = \sum_{y=0}^{q-1} \zeta^y - 1[/mm].
> Angenommen, dass [mm]\zeta \neq 1[/mm] ist (weil es z.B. eine
> primitive [mm]q[/mm]-te Einheitswurzel ist), hast du dann
> [mm]\sum_{y=0}^{q-1} \zeta^y = \frac{\zeta^q - 1}{\zeta - 1} = 0[/mm],
> und somit kommt genau das heraus was du haben willst.
Das sehe ich jetzt.
> Nunja, Charaktere nehmen komplexe Einheitswurzeln als Werte
> an. Nur deswegen haben sie i.A. nicht die gleichen
> Eigenschaften.
>
Das muss ich noch erstmal etwas zurpckstellen.
>
> Nun, [mm]-1[/mm] ist nur dann eine [mm]q[/mm]-te Einheitswurzel, wenn [mm]q[/mm]
> gerade ist. Und eine primitive [mm]q[/mm]-te Einheitswurzel ist es
> nur fuer [mm]q = 2[/mm]. Den Spezialfall [mm]\zeta = -1[/mm] anzuschauen
> bringt dir also nichts.
Ja, verstehe.
> LG Felix
>
Liebe Grüße,
tk
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 So 27.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin tk!
> > Ist [mm]q[/mm] eine Primzahl? Ich nehme das im Folgenden mal an.
>
> Das weiß ich nicht. Ich glaube es ist verallgemeinert. Es
> gibt doch einen Ring Z/4Z oder?
Das $q$ prim ist braucht man auch nicht, man muss nicht die Verschiebung nutzen.
> > > Der vorletzte Schritt lautet [mm](q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)^j (q-1)^{k-j}[/mm]
> > >
> > > also wenn ich das richtig sehe muss demnach für jedes i
> > > gelten: [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(-1)[/mm]
>
> >
> > Also daraus folgt das obere. Es ist aber nicht
> > (offensichtlich) aequivalent dazu.
>
> Hm, ja hast recht. Aber angenommen ich haben den Term
> [mm](q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}[/mm]
>
> Dann kann ich doch mit (wie unten) [mm]\sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=-1[/mm]
> in die Richtung schließen, dass [mm](q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j \sum_{y\in Q\setminus\{0\}}\zeta^{x_{h_i}y}=(q-1)^{k-j} \prod_{i=1}^j -1=(-1)^j (q-1)^{k-j}[/mm]
> gilt. Oder nicht? Doch, oder?
Doch.
> > Falls [mm]q[/mm] prim ist, ist [mm]\{ x_{h_i} y \mid y \in Q \setminus \{ 0 \} \} = Q \setminus \{ 0 \}[/mm].
Das brauchst du gar nicht. Arbeite einfach mit [mm] $\zeta^{x_{h_i}}$ [/mm] anstelle mit [mm] $\zeta$; [/mm] da [mm] $x_{h_i} \neq [/mm] 0$ ist, ist [mm] $\zeta^{x_{h_i}}$ [/mm] eine $q$-te Einheitswurzel mit [mm] $\zeta^{x_{h_i}} \neq [/mm] 1$. Mehr brauchst du nicht.
> > Dann waer die Summe gleich [mm]\sum_{y \in Q \setminus \{ 0 \}} \zeta^y = \sum_{y=0}^{q-1} \zeta^y - 1[/mm].
Oder einfach [mm] $\sum_{y = 1}^{q-1} (\zeta^{x_{h_i}})^y [/mm] = [mm] \sum_{y = 0}^{q-1} (\zeta^{x_{h_i}})^y [/mm] - 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:39 Mo 28.06.2010 | | Autor: | tkgraceful |
Ja dann, danke für die großartige Hilfe, Felix
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