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Guten Morgen
Ich rechne jetzt schon seit längerem an folgender Aufgabe rum, aber finde keine Lösung:
Sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] mit f(x,y,z):= [mm] z^{3}+2z^{2}-3xyz+x^{3}-y^{3}.
[/mm]
Ich soll zeigen: es existiert eine Umgebung U des Punktes (0,0) [mm] \in \IR^{2} [/mm] und eine Funktion g: [mm] U\to \IR^{3} [/mm] mit g(0,0)= -2 so, dass für [mm] (x,y)\in [/mm] U gilt: f(x,y,g(x,y))= 0.
Ich weiß, dass eine Umgebung von (0,0) eine Teilmenge ist, die eine offene Umgebung von (0,0) als Teilmenge enthält.
Aber zeigen kann ich das leider nicht. ;-(
Hat vielleicht jemand einen Tip für mich?
Dann habe ich mit g rumgerechnet, d.h. ich habe versucht ein passendes g zu finden, dass g(0,0)= -2 und f(x,y,g(x,y))= 0 erfüllt.
Aber für x+y-2 ; -x+y-2 und xy-2 ging die zweite Gleichung nicht auf!
Nun weiß ich nicht mehr, was ich noch ausprobieren soll oder wie ich sonst auf das g kommen soll!
Kann mir jemand helfen? Eine Idee würde schon reichen, damit ich wenigstens weiterkomme!
Vielen Dank und lieben Gruß Jessi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Di 10.05.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Jessica!
Du musst hier die Voraussetzungen des ![[]](/images/popup.gif) Satzes über implizite Funktionen überprüfen.
> Sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] mit f(x,y,z):=
> [mm]z^{3}+2z^{2}-3xyz+x^{3}-y^{3}.[/mm]
> Ich soll zeigen: es existiert eine Umgebung U des Punktes
> (0,0) [mm]\in \IR^{2}[/mm] und eine Funktion g: [mm]U\to \IR^{3}[/mm] mit
> g(0,0)= -2 so, dass für [mm](x,y)\in[/mm] U gilt: f(x,y,g(x,y))= 0.
Du musst also schauen, ob
[mm] $\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,-2) \ne [/mm] 0$
gilt und bist schon fertig. 
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:37 Di 10.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hey Julius!
Na, da hätte ich ja ewig rumprobieren können!
Vielen Dank für deine Hilfe! Auch das mit dem Link finde ich echt super, so verstehe ich auch, warum ich das so machen muss!
Schönen Tag noch.... LG Jessi
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