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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe in meiner Vorlesung folgende Definition für eine Umgebung:
(X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge $V [mm] \subset [/mm] X$ heißt eine Umgebung von x, falls es $U [mm] \subset [/mm] X$ offen gibt mit $x [mm] \in [/mm] U [mm] \subset [/mm] V$.
Also bisher hab ich eine Umgebung um einen Punkt x immer so verstanden, dass das einfach eine Menge ist, in der x enthalten ist.
Ist das soweit richtig?
Was ich in der Definition nicht so ganz verstehe, ist die Sache mit der offenen Teilmenge U. Wofür genau brauch ich die? Warum kann nicht einfach $x [mm] \in [/mm] V$ gelten?
Vielen Dank.
LG Nadine
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe in meiner Vorlesung folgende Definition für eine
> Umgebung:
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> (X,d) ein metrischer Raum. Eine Teilmenge [mm]V \subset X[/mm]
> heißt eine Umgebung von x, falls es [mm]U \subset X[/mm] offen gibt
> mit [mm]x \in U \subset V[/mm].
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> Also bisher hab ich eine Umgebung um einen Punkt x immer so
> verstanden, dass das einfach eine Menge ist, in der x
> enthalten ist.
> Ist das soweit richtig?
Hallo,
nein. Du hast "Umgebung" dann bisher falsch erstanden.
Gehen wir mal in den [mm] \IR [/mm] mit der Betragsnorm und schauen den Punkt x=5 an.
Es ist das z.B. Intervall [4,9] eine Umgebung von x=5,
ebenso das Intervall ]4,6[.
Aber rein intuitiv ist Dir doch klar, daß das Intervall [5,6[ keine Umgebung von von x=5 ist, obgleich x=5 drin ist, oder?
Oder nehmen wir die Menge [mm] M:=\{4,5,6,7,8\}. [/mm] Hältst Du diese (rein intuitiv) für eine Umgebung von x=5? Auch nicht, oder?
> Was ich in der Definition nicht so ganz verstehe, ist die
> Sache mit der offenen Teilmenge U. Wofür genau brauch ich
> die?
Damit der fragliche Punkt wirklich von allen Seiten kuschelig umgeben ist.
> Warum kann nicht einfach [mm]x \in V[/mm] gelten?
Damit er nicht friert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela.
Also heißt das, dass eine Umgebung so gewählt ist, dass der Punkt x nicht am ihrem Rand liegt? Und der Teil der Umgebung (nämlich diese Teilmenge U), in der der Punkt x liegt, darf auch keine Löcher haben?
Also wenn ich jetzt mal [mm] X=\IR [/mm] und x=5 nehme, dann wäre ja eine offene Menge um 5 z.B. das Intervall ]3,8[, die nehm ich jetzt mal als das U aus der Definition. Wäre dann z.B. die Menge {]3,8[ [mm] \cup [/mm] [9,12]} eine Umgebung von x?
Also kann die Umgebung im Grunde noch so löchrig sein, solange es eine "lochfreie" Stelle gibt, in der x echt drinliegt, die Teilmenge dieser Umgebung ist?
LG Nadine
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> Hallo Angela.
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> Also heißt das, dass eine Umgebung so gewählt ist, dass
> der Punkt x nicht am ihrem Rand liegt?
Hallo,
es geht doch hier nicht um eine gewählte Umgebung, sondern daraum, wie "Umgebung" definert ist.
Ja, x liegt nicht auf dem Rand der Umgebung. Sonst wär's nämlich keine Umgebung.
> Und der Teil der
> Umgebung (nämlich diese Teilmenge U), in der der Punkt x
> liegt, darf auch keine Löcher haben?
Wieso? Davon steht doch nichts in der Definition.
Dies Teilmenge U, welche ganz in der Menge V liegt, ist oofen und enthält x.
> Also wenn ich jetzt mal [mm]X=\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und x=5 nehme, dann wäre ja
> eine offene Menge um 5 z.B. das Intervall ]3,8[,
Ja
> die nehm
> ich jetzt mal als das U aus der Definition. Wäre dann z.B.
> die Menge {]3,8[ [mm]\cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[9,12]}
Ja.
> eine Umgebung von x?
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> Also kann die Umgebung im Grunde noch so löchrig sein,
> solange es eine "lochfreie" Stelle gibt, in der x echt
> drinliegt, die Teilmenge dieser Umgebung ist?
Dieses "lochfrei" ist mir anstrengend.
Bevor wir jetzt weiter darüber schwadronieren, müßten wir mal eine Definition von "lochfrei" haben.
Aber wofür? Nimm einfach die Definition vom Umgebung, schluck und akzeptiere sie.
Und an dem Tag, an welchem Dir wirklich was konkretes Löcheriges begegnet, kannst Du doch immer noch drüber nachdenken, ob es eine Umgebung ist oder nicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Angela,
danke für deine Antworten.
Ich denke ich weiß jetzt, was ich vorher falsch verstanden habe.
LG Nadine
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