Umgebung, Epsilon, Intervall < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \epsilon [/mm] = min [mm] \{ | x-a| , |x+b| \}. [/mm] Dann ist für [mm] B_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{ y: | y-x|<\epsilon \}. B_\epsilon [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] (a,b), denn wenn y [mm] \in B_\epsilon [/mm] (x), so ist |y-x| <= min [mm] \{ | x-a| , |x+b| \}, [/mm] also y [mm] \in [/mm] (a,b) |
Hallo ihr Lieben.
Was soll der Satz oben "unmathematisch formuliert" einen sagen?Ich verstehe nicht was hinter dem Satz/Lemma/korrollar steckt..
WIeso folgt auch aus |y-x| <= min [mm] \{ | x-a| , |x+b| \}, [/mm] dass y [mm] \in [/mm] (a,b) ?
Lg
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> Sei [mm]\epsilon[/mm] = min [mm]\{ | x-a| , |x+b| \}.[/mm] Dann ist für
> [mm]B_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{ y: | y-x|<\epsilon \}. B_\epsilon[/mm] (x)
> [mm]\subseteq[/mm] (a,b), denn wenn y [mm]\in B_\epsilon[/mm] (x), so ist
> |y-x| <= min [mm]\{ | x-a| , |x+b| \},[/mm] also y [mm]\in[/mm] (a,b)
> Hallo ihr Lieben.
>
> Was soll der Satz oben "unmathematisch formuliert" einen
> sagen?Ich verstehe nicht was hinter dem
> Satz/Lemma/korrollar steckt..
Hallo,
es wäre ganz gut, wenn Du verraten hättest, wie es losgeht.
Wahrscheinlich damit, daß man das Intervall (a,b) hat und ein [mm] x\in [/mm] (a,b),
also liegt x zwischen a und b.
Mach Dir unbedingt ein Bildchen, in welches Du alles einträgst.
Nun guckt man, wie weit x von a bzw. b entfernt ist.
Die kleinste dieser beiden Entfernungen nennt man [mm] \varepsilon.
[/mm]
Also ist [mm] \varepsilon=min\{|x-a|, |x-b|\}.
[/mm]
Das + oben bei Dir dürfte ein Fehler sein.
Nun betrachtet man die Menge aller Zahlen, die von x nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] entfernt sind, die [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von x, man sagt auch (weil man das auch in höherdimensionalen Räumen machen kann): die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] (ball) um x, [mm] B_{\varepsilon}(x).
[/mm]
Die Definition steht oben.
Weil in dieser Umgebung [mm] B_{\varepsilon}(x) [/mm] alle Zahlen sind, die dichter an x liegen als [mm] \varepsilon, [/mm] sind natürlich alle Zahlen aus [mm] B_{\varepsilon}(x) [/mm] auch im Intervall (a,b),
also ist [mm] B_{\varepsilon}(x)\subseteq [/mm] (a,b).
LG Angela
>
> WIeso folgt auch aus |y-x| <= min [mm]\{ | x-a| , |x+b| \},[/mm]
> dass y [mm]\in[/mm] (a,b) ?
>
> Lg
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Danke für die gute Erklärung, das habe ich nun verstanden.
Ich habe noch eine Frage zu einem analogen Teil:
[a,b] ist abgeschlossen.
[mm] (x_j)_{j \in \IN} [/mm] , [mm] x_j \in [/mm] [a,b] , [mm] lim_{j->\infty} x_j [/mm] = [mm] x_0
[/mm]
Wir wollen zeigen [mm] x_0 \in [/mm] [a,b]
Annahme [mm] x_0 \in [/mm] [a,b]
Dann [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] sodass [mm] B_\epsilon (x_0) \subseteq [a,b]^C [/mm]
Dann ist [mm] x_j \in B_\epsilon (x_0) \forall [/mm] j ( [mm] |x_j [/mm] - [mm] x_0| [/mm] > [mm] \epsilon \forall [/mm] j)
also [mm] x_0 [/mm] sicher nicht Grenzwert von [mm] x_j [/mm]
Den Beweis verstehe ich leider nicht.
Kannst du das mir vlt auch erklären ?
(Die Vorlesung war ich nämlich krank und hab die Mitschrift nur von einer freundin)
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> [a,b] ist abgeschlossen.
>
> [mm](x_j)_{j \in \IN}[/mm] , [mm]x_j \in[/mm] [a,b] , [mm]lim_{j->\infty} x_j[/mm] =
> [mm]x_0[/mm]
> Wir wollen zeigen [mm]x_0 \in[/mm] [a,b]
Das kann man leichter zeigen als in der Mitschrift:
[mm] $x_j\ge [/mm] a$ für alle [mm] $j\in\IN$ [/mm] und [mm] $\lim_{j\to\infty}x_j=x_0$
[/mm]
impliziert
[mm] $x_0\ge [/mm] a$,
wie man kurz nach der Einführung von Folgenkonvergenz gezeigt hat.
Genauso:
[mm] $x_0\le [/mm] b$.
Also:
[mm] $x_0\in[a,b]$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Toller Beweis ;)
Vlt. findest du aber trotzdem die Zeit mir den Beweis im Skript zu erklären, da ich den auch verstehen möchte ;)
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Toller Beweis ;)
> Vlt. findest du aber trotzdem die Zeit mir den Beweis im
> Skript zu erklären, da ich den auch verstehen möchte ;)
wenn dieser Teil
> Dann ist $ [mm] x_j \in B_\epsilon (x_0) \forall [/mm] $ j ( $ [mm] |x_j [/mm] $ - $ [mm] x_0| [/mm] $ > $ [mm] \epsilon \forall [/mm] $ j)
> also $ [mm] x_0 [/mm] $ sicher nicht Grenzwert von $ [mm] x_j [/mm] $
wirklich genau so im Skript steht, kann man das eigentlich auch nicht
verstehen: Denn $ [mm] x_j \in B_\epsilon (x_0)\;\;\; \forall [/mm] j$ passt wunderbar
dazu, dass [mm] $x_j \to x_0$ [/mm] - man bräuchte ja eigentlich weniger, nämlich
"nur", dass $ [mm] x_j \in B_\epsilon (x_0) \;\;\;\forall [/mm] j [mm] \ge \red{j_0}$ [/mm] mit einem
[mm] $j_0\,,$ [/mm] was von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängig gewählt/gefunden werden darf!
In einer anderen Antwort habe ich zwei Beweismöglichkeiten angegeben:
Hier wurden irgendwie die Ideen beider vermischt, aber so, dass gar kein
Widerspruch mehr erkennbar ist. Da war wohl jmd. etwas verwirrt!
P.S.
Sollte aber im Skript stehen:
> Dann ist $ [mm] x_j \red{\;\notin} B_\epsilon (x_0) \forall [/mm] $ j ( $ [mm] |x_j [/mm] $ - $ [mm] x_0| [/mm] $ > $ [mm] \epsilon \forall [/mm] $ j)
> also $ [mm] x_0 [/mm] $ sicher nicht Grenzwert von $ [mm] x_j [/mm] $
dann ist meine Aussage eine Folge Deines Abschreibefehlers. Aber dann
gibt's oben dennoch eine Kleinigkeit zu korrigieren:
Denn das obige besagt:
[mm] $\forall [/mm] j: [mm] x_j \notin B_\epsilon (x_0)$
[/mm]
Daraus folgt (nach Definition von [mm] $B_\epsilon (x_0)=\{y: |y-x_0| < \epsilon\}$):
[/mm]
[mm] $\forall [/mm] j: [mm] |x_j-x_0| \red{\;\ge\;}\epsilon$
[/mm]
und damit kann nicht mehr [mm] $x_j \to x_0$ [/mm] gelten. Widerspruch!
Ich erkläre Dir diesen Teil vielleicht nochmal genauer, damit das mal
vollständig erklärt wird:
Wenn alle [mm] $x_j \in [a,b]\,$ [/mm] liegen, aber [mm] $B_\epsilon(x_0) \subseteq [a,b]^C$ [/mm] gilt, dann kann keines der [mm] $x_j \in B_\epsilon(x_0)$ [/mm] liegen.
(Denn aus $([a,b] [mm] \cap B_\epsilon(x_0)) \subseteq [/mm] ([a,b] [mm] \cap [a,b]^C)=\emptyset$ [/mm] folgt $[a,b] [mm] \cap B_\epsilon(x_0)=\emptyset\,.$)
[/mm]
Wenn alle [mm] $x_j \notin B_\epsilon(x_0)$ [/mm] liegen, muss für jedes [mm] $x_j$ [/mm] nach
Definition von [mm] $B_\epsilon(x_0)$ [/mm] gelten:
[mm] $$|x_j-x_0| \ge \epsilon\,.$$
[/mm]
Daraus folgt schnell, dass nicht mehr [mm] $x_j \to x_0$ [/mm] gelten kann. (Wenn
das für Dich nicht so schnell ersichtlich ist: Angenommen, es wäre doch
[mm] $x_j \to x_0\,.$ [/mm] Zu obigem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert dann ... Führe das
zum Widerspruch!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Annahme [mm]x_0 \red{\not\in}[/mm] [a,b]
(Annahme des Gegenteils des zu Zeigenden.)
> Dann [mm]\exists \epsilon>0[/mm] sodass [mm]B_\epsilon (x_0) \subseteq [a,b]^C[/mm]
Diese Schlussfolgerung hätte ich gerne begründet. Wenigstens mit einer Skizze ähnlich zu der vorherigen Aussage. (Besser zwei Skizzen: einmal [mm] $x_0>b$ [/mm] und einmal [mm] $x_0
Wenn es nun gelingt, diese Schlussfolgerung einzusehen (also dass für beliebiges [mm] $x_0\in[a,b]^C$ [/mm] ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] existiert mit [mm] $B_\epsilon(x_0)\subseteq[a,b]^C$), [/mm] ist sofort die Offenheit von [mm] $[a,b]^C$ [/mm] gezeigt und damit die Abgeschlossenheit von $[a,b]$.
Dieses ganze "Folgenbrimborium" drumherum ist also überflüssig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
> und damit die Abgeschlossenheit von $ [a,b] $.
Ja aber wir hatten doch mit einen Widerspruchsbeweis begonnen, da muss doch ein Widerspruch am Ende herauskommen=?
Lg therese
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> und damit die Abgeschlossenheit von $ [a,b] $.
Ja aber wir hatten doch mit einen Widerspruchsbeweis begonnen, da muss doch ein Widerspruch am Ende herauskommen=?
Da muss doch nun was schief gegangen sein?
Lg therese
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > und damit die Abgeschlossenheit von [mm][a,b] [/mm].
>
> Ja aber wir hatten doch mit einen Widerspruchsbeweis
> begonnen, da muss doch ein Widerspruch am Ende
> herauskommen=?
schreiben wir das nochmal ab:
> Annahme $ [mm] x_0 \red{\;\notin\;} [/mm] [a,b]$
> Dann $ [mm] \exists \epsilon>0 [/mm] $ sodass $ [mm] B_\epsilon (x_0) \subseteq [a,b]^C [/mm] $
Das ist erstmal auch nur eine Behauptung. Setze [mm] $\epsilon=\epsilon_{x_0}:=\min\{|x_0-a|,\;|x_0-b|\}$ [/mm] - dann hast Du ein geeignetes
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ (vll. hattest Du sowas auch schon vorher gefragt).
Jetzt gibt's eigentlich (mind.) zwei Möglichkeiten, wie man einen Widerspruch hier erzeugen kann:
> Dann ist $ [mm] x_j \in B_\epsilon (x_0) \forall [/mm] $ j ( $ [mm] |x_j [/mm] $ - $ [mm] x_0| [/mm] $ > $ [mm] \epsilon \forall [/mm] $ j)
> also $ [mm] x_0 [/mm] $ sicher nicht Grenzwert von $ [mm] x_j [/mm] $
Da steht in diesem Sinne eigentlich einfach Quatsch, das ist einfach wirr.
Ich habe aber eine Vermutung, was hier gesagt werden will, und schreibe
das mal in der Alternative:
1.) Weil ja [mm] $\blue{x_j \in \text{[a,b]}}$ [/mm] für alle [mm] $j\,$ [/mm] gilt, aber, wie Du nachrechnen kannst, auch gilt:
"Für alle $y [mm] \in B_\epsilon(x_0)$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt $|x-y| [mm] \ge \epsilon$"
[/mm]
folgt, dass auch [mm] $|x_j-x_0| \ge \epsilon$ [/mm] sogar für alle [mm] $j\,$ [/mm] gilt. Nach
Grenzwertdefinition kann dann aber nicht mehr [mm] $x_j \to x_0$ [/mm] gelten.
(Man würde damit "sogar auch" [mm] $|x_j -x_0| [/mm] > [mm] \epsilon/2$ [/mm] für alle [mm] $j\,$ [/mm]
direkt weiter folgern können!)
Alternativ kann man einen anderen Widerspruch erzeugen, anstatt 1.)
kann man es so machen, wie ich es in 2.) schreibe:
2.) Wir gehen nun davon aus, dass [mm] $x_j \to x_0$ [/mm] mit [mm] $x_0 \notin [a,b]\,.$
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] $j_0$ [/mm] so, dass [mm] $x_j \in B_{\epsilon}(x_0)$ [/mm] für alle
$j [mm] \ge j_0\,,$ [/mm] und wegen [mm] $B_{\epsilon}(x_0) \subseteq [a,b]^C$ [/mm] folgt dann [mm] $x_j \in [a,b]^C$ [/mm] für alle $j [mm] \ge j_0\,.$
[/mm]
(Hier hat man eigentlich auch schon einen Widerspruch, denn es sollten
doch alle [mm] $x_j \in [/mm] [a,b]$ liegen - ich mache aber trotzdem mal einen
anderen...)
Insbesondere ist also [mm] $x_{j_0} \in [a,b]^C\,,$ [/mm] nach Voraussetzung war
aber auch insbesondere [mm] $x_{j_0} \in [/mm] [a,b]$:
Es folgt wegen $[a,b] [mm] \cap [a,b]^C=\emptyset$ [/mm] der Widerspruch
[mm] $$x_{j_0} \in \emptyset=[a,b] \cap [a,b]^C\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Do 25.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Vielen Dank für die Erklärungen. Habe nun Beweis 2 genommen, da ich in mir besser "vorstellen" kann.
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Sa 20.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Ich meinte es folgendermaßen: Wir vergessen den gesamten Widerspruchsbeweis.
Stattdessen zeigen wir:
Für alle [mm] $x_0\in[a,b]^C$ [/mm] existiert ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_\epsilon(x_0)\subseteq[a,b]^C$.
[/mm]
Damit ist dann die Offenheit von [mm] $[a,b]^C$ [/mm] gezeigt, also ist $[a,b]$ abgeschlossen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Do 25.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Jap danke ;))
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