Umgebung von x < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Die Funktion [mm] f:\IR \to \IR [/mm] sei stetig und es gelte f(x)>0 für ein x [mm] \in \IR. [/mm] Zeigen Sie, dass eine Umgebung U von x existiert mit f(y)>0 für alle y [mm] \in [/mm] U. |
Ein Problem gelöst und schon warten neue :)
Vorneweg... mir ist bekannt was eine Umgebung ist.
was mich jedoch irritiert ist der teil mit f(y)>0.
kann ich denn dann einfach sagen,...
...da sowohl f(x) als auch f(y) größer 0 sind (nach Vorraussetzung) gilt auch x>0 und y>0.
Daraus folgt dann [mm] U_{\varepsilon}(x) [/mm] = [mm] (x-\varepsilon, x+\varepsilon) [/mm] ={ [mm] y\in [/mm] U [mm] :|x-y|<\varepsilon [/mm] }
bin mir nicht wirklich sicher ob das sinn macht...
bitte bitte hilfe
lg
tinchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 11.02.2010 | | Autor: | gfm |
Wenn eine Funktion stetig in einem Punkt ist, so gibt es zu jeder Umgebung um den Funktionswert herum eine um den Punkt herum, so daß diese Umgebung um den Punkt herum in die Umgebung um den Funktionswert abgebildet wird.
Wenn also f bei x mit f(x)>0 stetig ist, so gibt es eine Umgebung um f(x), die die null nicht enthält und eine Umgebung um x herum, die in die Umgebung um f(x) herum abgebildet wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Do 11.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo tinchen,
> ...da sowohl f(x) als auch f(y) größer 0 sind (nach
> Vorraussetzung)
Nein, ein U mit $f(y)>0$ für alle [mm] $y\in [/mm] U$ ist gerade gesucht, nicht gegeben.
> gilt auch x>0 und y>0.
Nein. Warum soll nicht z.B. f(-5)=7 gelten? Aus f(x) folgt in keinster Weise x>0.
> Daraus folgt dann [mm]U_{\varepsilon}(x)[/mm] = [mm](x-\varepsilon, x+\varepsilon)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist die Definition von $U_{\varepsilon}(x)$. Sie gilt unabhängig von den vorherigen Überlegungen.
> $=\{$ [mm]y\in[/mm] U [mm]:|x-y|<\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\}$
Wenn du das U durch $\IR$ ersetzt, stimmt es auf jeden Fall. Ansonsten müsstest du zunächst erklären, was U sein soll.
Mit welcher Definition/Charakterisierung von Stetigkeit möchtest du gerne arbeiten?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
