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Umgebungen-Stetigkeit: Verständnisprobleme
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Mi 19.10.2011
Autor: KomplexKompliziert

Aufgabe
Gegeben sei die signum-Funktion

[mm] \sgn(x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x <0\end{cases} [/mm]

Anhand der Umgebungsaxiome und der Stetigkeitsdefinition soll gezeigt werden, dass die signum-Funktion nicht stetig ist.
Definition Stetigkeit:
Eine Abbidlung f eines topologischen Raumes X in einen Raum Y heißt stetig im Punkt [mm] x\in [/mm] X, wenn das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine
Umgebung von 𝑥 ist.

Die Umgebungsaxiome sind:
X sei ein topologischer Raum und [mm] x\in [/mm] X.
(U1)  Es gibt eine Umgebung von 𝑥 und jede Umgebung von 𝑥 enthält 𝑥
(U2)  Die Obermenge einer Umgebung von 𝑥 ist selbst eine
          Umgebung von 𝑥
(U3)  Der Durchschnitt zweier Umgebungen von 𝑥 ist eine Umgebung
          von 𝑥.
(U4)  Jede Umgebung von 𝑥 enthält eine Umgebung von 𝑥, welche
          Umgebung aller ihrer Punkte ist.

Hallo zusammen!
Ich muss kommenden Dienstag einen Vortrag im Fach Topolige über Umgebungen halten. Nun habe ich bei einem Beispiel, das ich im Vortrag bringen möchte einige Verständnisproblem. Vielleicht kann mir das jemand anschaulich erklären- ich wäre sehr sehr dankbar!

        
Bezug
Umgebungen-Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:29 Mi 19.10.2011
Autor: fred97


> Gegeben sei die signum-Funktion
>
> [mm]\sgn (x):= \begin{cases} +1 & \; x>0 \\ \;\;\,0 & \; x=0 \\ -1 & \; x <0\end{cases}[/mm]
>  
> Anhand der Umgebungsaxiome und der Stetigkeitsdefinition
> soll gezeigt werden, dass die signum-Funktion nicht stetig
> ist.
>  Definition Stetigkeit:
>  Eine Abbidlung f eines topologischen Raumes X in einen
> Raum Y heißt stetig im Punkt [mm]x\in[/mm] X, wenn das Urbild jeder
> Umgebung von f(x) eine
>  Umgebung von 𝑥 ist.
>  
> Die Umgebungsaxiome sind:
>  X sei ein topologischer Raum und [mm]x\in[/mm] X.
>  (U1)  Es gibt eine Umgebung von 𝑥 und jede Umgebung von
> 𝑥 enthält 𝑥
>  (U2)  Die Obermenge einer Umgebung von 𝑥 ist selbst
> eine
> Umgebung von 𝑥
>  (U3)  Der Durchschnitt zweier Umgebungen von 𝑥 ist eine
> Umgebung
> von 𝑥.
>  (U4)  Jede Umgebung von 𝑥 enthält eine Umgebung von
> 𝑥, welche
> Umgebung aller ihrer Punkte ist.
>  Hallo zusammen!
>  Ich muss kommenden Dienstag einen Vortrag im Fach Topolige
> über Umgebungen halten. Nun habe ich bei einem Beispiel,
> das ich im Vortrag bringen möchte einige
> Verständnisproblem. Vielleicht kann mir das jemand
> anschaulich erklären- ich wäre sehr sehr dankbar!


1. Obige Funktion nenne ich mal f.

2. Ich gehe davon aus, dass [mm] \IR [/mm] mit der vom Betrag erzeugten Topologie versehen ist.

3. Wir nehmen uns mal den Punkt [mm] x_0=0 [/mm] vor. Anschaulich ist klar, dass f in diesem Punkt nicht stetig ist.

Wir benötigen also eine Umgebung U von [mm] f(x_0)=0 [/mm] so, dass [mm] f^{-1}(U) [/mm] keine Umgebung von [mm] x_0 [/mm] ist.

Mach Dir klar, daas U=(-1,1) das gewünschte leistet.

4. Versuche nun Du zu zeigen, dass f in jedem x [mm] \ne [/mm] 0 stetig ist.

FRED


Bezug
                
Bezug
Umgebungen-Stetigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 Mi 19.10.2011
Autor: KomplexKompliziert

Gerade daran scheitert es bei mir. Das mit der Umgebung um f(x)=0 ist mir klar. Ich hatte bei meinem Beispiel V=(-0,5, 0,5) gewählt. Das Urbild U=f^-1(V) ist jetzt [mm] (-\infty,0] [/mm] und [0, [mm] \infty) [/mm] bzw. R ohne die 0?


Bezug
                        
Bezug
Umgebungen-Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Mi 19.10.2011
Autor: fred97


> Gerade daran scheitert es bei mir. Das mit der Umgebung um
> f(x)=0 ist mir klar. Ich hatte bei meinem Beispiel V=(-0,5,
> 0,5) gewählt. Das Urbild U=f^-1(V) ist jetzt [mm](-\infty,0][/mm]
> und [0, [mm]\infty)[/mm] bzw. R ohne die 0?

Das ist doch Unsinn !

Es ist  [mm] U=f^{-1}(V) [/mm] = [mm] \{x \in \IR: |f(x)|<1/2 \}=\{0\}$ [/mm]

>  


Bezug
                                
Bezug
Umgebungen-Stetigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Mi 19.10.2011
Autor: KomplexKompliziert

Aufgabe
Also sei V(-0,5;0,5), dann ist
[mm] f^{-1}((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5;0,5)\}=\{0\} [/mm]

Die Funktion ist unstetig an der Stelle x=0. Denn dort ist f(x)=0. V(-0,5;0,5) ist also eine Umgebung von f(x). Das Urbild von V(-0,5;0,5) ist [mm] f^{-1}((-0,5;0,5))=\{0\}=U. [/mm] U ist also keine Umgebung von x.

Ist diese Argumentation so korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Umgebungen-Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Do 20.10.2011
Autor: fred97


> Also sei V(-0,5;0,5), dann ist
> [mm]f^{-1}((-0,5;0,5))=\{x\in R|f(x)\in (-0,5;0,5)\}=\{0\}[/mm]
>  Die
> Funktion ist unstetig an der Stelle x=0. Denn dort ist
> f(x)=0. V(-0,5;0,5) ist also eine Umgebung von f(x). Das
> Urbild von V(-0,5;0,5) ist [mm]f^{-1}((-0,5;0,5))=\{0\}=U.[/mm] U
> ist also keine Umgebung von x.
>  
> Ist diese Argumentation so korrekt?  

Ja

FRED


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