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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Fr 13.07.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Erläutern Sie den Begriff der Umgebungsbasis anhand eines Beispiels mit Ihrer selbst gewählten Metrik. (Sie können der Bequemlichkeit halber auch die euklidische verwenden) |
Definition einer Umgebungsbasis:
Ein (Teil-)System [mm] $\mathcal{B}(x)$ [/mm] heißt Umgebungsbasis von $U(x)$ genau denn, wenn jede Umgebung von $x$ ein Element aus [mm] $\mathcal{B}(x) [/mm] $ als Teilmenge enthält.
So, ich habe mich nun nach der Sinnhaftigkeit dieser Definition gefragt, denn, Bsp.:
Sei $x=0$. Dann ist doch [mm] $\mathcal{B}(0) [/mm] $ genau dann (Umgebungs-)Basis von $U(0)$, wenn [mm] $\mathcal{B}(0):= \{]a,b[:a<0,b>0 \wedge a,b\in \mathbb{R}\} [/mm] $, also wenn [mm] $\mathcal{B}(0) [/mm] = U(0)$ ist. Würde ich nämlich [mm] $\mathcal{B}(0) [/mm] $ nicht derart wählen, so könnte ich doch stets ein Element von $U(0)$ finden, wo es kein Element aus [mm] $\mathcal{B}(0) [/mm] $ gibt, das ganz in dieser Umgebung aus $U(0)$ liegt. Mit anderen Worten; es muss stets in Element in [mm] $\mathcal{B}(x) [/mm] $ gefunden werden können, das kleiner (geringerer Radius der [mm] $\epsilon-$ [/mm] Kugel) als jedes andere Element aus $U(x)$ ist.
Meine Betrachtungen bezogen sich jedoch lediglich auf die eukldische Metrik. Vermutlich hat die Definition nur deshalb Sinn, weil man genug (auch sehr gekünstelt wirkende) Metriken konstruieren kann.
Frage: Gibt es Dinge, die ich an der obigen Definition vielleicht nicht ganz verstanden habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 Fr 13.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> Erläutern Sie den Begriff der Umgebungsbasis anhand eines
> Beispiels mit Ihrer selbst gewählten Metrik. (Sie können
> der Bequemlichkeit halber auch die euklidische verwenden)
> Definition einer Umgebungsbasis:
> Ein (Teil-)System [mm]\mathcal{B}(x)[/mm] heißt Umgebungsbasis von
> [mm]U(x)[/mm] genau denn, wenn jede Umgebung von [mm]x[/mm] ein Element aus
> [mm]\mathcal{B}(x)[/mm] als Teilmenge enthält.
>
> So, ich habe mich nun nach der Sinnhaftigkeit dieser
> Definition gefragt, denn, Bsp.:
> Sei [mm]x=0[/mm]. Dann ist doch [mm]\mathcal{B}(0)[/mm] genau dann
> (Umgebungs-)Basis von [mm]U(0)[/mm], wenn [mm]\mathcal{B}(0):= \{]a,b[:a<0,b>0 \wedge a,b\in \mathbb{R}\} [/mm],
> also wenn [mm]\mathcal{B}(0) = U(0)[/mm] ist.
Das stimmt nicht.
1. bei Deiner Wahl besteht U(0) nicht nur aus offenen Intervallen, die 0 enthalten, sondern auch noch aus sämtlichen Obermengen solcher Intervalle.
2. Eine Umgebungsbasis von 0 wäre z.B.:
[mm] \{ (-/1/n,1/n): n \in \IN\}
[/mm]
FRED
> Würde ich nämlich
> [mm]\mathcal{B}(0)[/mm] nicht derart wählen, so könnte ich doch
> stets ein Element von [mm]U(0)[/mm] finden, wo es kein Element aus
> [mm]\mathcal{B}(0)[/mm] gibt, das ganz in dieser Umgebung aus [mm]U(0)[/mm]
> liegt. Mit anderen Worten; es muss stets in Element in
> [mm]\mathcal{B}(x)[/mm] gefunden werden können, das kleiner
> (geringerer Radius der [mm]\epsilon-[/mm] Kugel) als jedes andere
> Element aus [mm]U(x)[/mm] ist.
>
> Meine Betrachtungen bezogen sich jedoch lediglich auf die
> eukldische Metrik. Vermutlich hat die Definition nur
> deshalb Sinn, weil man genug (auch sehr gekünstelt
> wirkende) Metriken konstruieren kann.
>
> Frage: Gibt es Dinge, die ich an der obigen Definition
> vielleicht nicht ganz verstanden habe?
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