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Forum "Topologie und Geometrie" - Umgebungsbasis
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Umgebungsbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:33 Di 16.04.2013
Autor: theresetom

Aufgabe
Sei (M,d) ein metrischer Raum und x [mm] \in [/mm] M. Zeige das abzählbare Mengensystem
B(x) := [mm] \{ U_{1/n} (x) | n \in \IN \} [/mm] ist eine Umgebungsbasis bei x

ZZ.: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x) [mm] \exists [/mm] B [mm] \in [/mm] B(x) : B [mm] \subseteq [/mm] U

Im metrischen Raum bedeutet U [mm] \in [/mm] U(x)
[mm] U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{y \in M | d(x,y) < \epsilon \} [/mm]
für bel n ist [mm] U_{1/n} [/mm] (x) [mm] \subseteq U_\epsilon [/mm] wenn ich [mm] \epsilon [/mm] so wähle dass 1/n < [mm] \epsilon. [/mm]
Aber warum genügt dies?
Kann man das besser begründen?


        
Bezug
Umgebungsbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:55 Di 16.04.2013
Autor: tobit09

Hallo theresetom,


>  ZZ.: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] B [mm]\in[/mm] B(x) : B [mm]\subseteq[/mm] U
>  
> Im metrischen Raum bedeutet U [mm]\in[/mm] U(x)
>  [mm]U_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{y \in M | d(x,y) < \epsilon \}[/mm]

[mm] $U\in [/mm] U(x)$ bedeutet [mm] $U\supseteq U_\varepsilon$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon>0$. [/mm]

Warum gilt dìes? Wie ist $U(x)$ definiert und wie die offenen Mengen von M?

>  für
> bel n ist [mm]U_{1/n}[/mm] (x) [mm]\subseteq U_\epsilon[/mm] wenn ich
> [mm]\epsilon[/mm] so wähle dass 1/n < [mm]\epsilon.[/mm]

Es muss heißen: "wenn ich n so wähle, dass [mm] $\bruch1n<\varepsilon$". [/mm] Denn [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist vorgegeben, während du die Existenz eines passenden $n$ zu zeigen hast.

Also [mm] $U_{\bruch1n}(x)\subseteq U_\varepsilon\subseteq [/mm] U$.

>  Aber warum genügt dies?

Zu zeigen war:

>  ZZ.: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] B [mm]\in[/mm] B(x) : B [mm]\subseteq[/mm] U

Du hast nun zu beliebig vorgegebenem [mm] $U\in [/mm] U(x)$ ein [mm] $B\in [/mm] B(x)$ gefunden mit [mm] $B\subseteq [/mm] U$. Genau das war zu tun.


Viele Grüße
Tobias

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