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| Aufgabe | Sei (M,d) ein metrischer Raum und x [mm] \in [/mm] M. Zeige das abzählbare Mengensystem
B(x) := [mm] \{ U_{1/n} (x) | n \in \IN \} [/mm] ist eine Umgebungsbasis bei x |
ZZ.: [mm] \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] U(x) [mm] \exists [/mm] B [mm] \in [/mm] B(x) : B [mm] \subseteq [/mm] U
Im metrischen Raum bedeutet U [mm] \in [/mm] U(x)
[mm] U_\epsilon [/mm] (x) = [mm] \{y \in M | d(x,y) < \epsilon \}
[/mm]
für bel n ist [mm] U_{1/n} [/mm] (x) [mm] \subseteq U_\epsilon [/mm] wenn ich [mm] \epsilon [/mm] so wähle dass 1/n < [mm] \epsilon.
[/mm]
Aber warum genügt dies?
Kann man das besser begründen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Di 16.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo theresetom,
> ZZ.: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] B [mm]\in[/mm] B(x) : B [mm]\subseteq[/mm] U
>
> Im metrischen Raum bedeutet U [mm]\in[/mm] U(x)
> [mm]U_\epsilon[/mm] (x) = [mm]\{y \in M | d(x,y) < \epsilon \}[/mm]
[mm] $U\in [/mm] U(x)$ bedeutet [mm] $U\supseteq U_\varepsilon$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon>0$.
[/mm]
Warum gilt dìes? Wie ist $U(x)$ definiert und wie die offenen Mengen von M?
> für
> bel n ist [mm]U_{1/n}[/mm] (x) [mm]\subseteq U_\epsilon[/mm] wenn ich
> [mm]\epsilon[/mm] so wähle dass 1/n < [mm]\epsilon.[/mm]
Es muss heißen: "wenn ich n so wähle, dass [mm] $\bruch1n<\varepsilon$". [/mm] Denn [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist vorgegeben, während du die Existenz eines passenden $n$ zu zeigen hast.
Also [mm] $U_{\bruch1n}(x)\subseteq U_\varepsilon\subseteq [/mm] U$.
> Aber warum genügt dies?
Zu zeigen war:
> ZZ.: [mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] U(x) [mm]\exists[/mm] B [mm]\in[/mm] B(x) : B [mm]\subseteq[/mm] U
Du hast nun zu beliebig vorgegebenem [mm] $U\in [/mm] U(x)$ ein [mm] $B\in [/mm] B(x)$ gefunden mit [mm] $B\subseteq [/mm] U$. Genau das war zu tun.
Viele Grüße
Tobias
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